1.14.2. Взаимосвязь прямой и двойственной задач и обоснование правил алгоритма двойственного симплекс-метода

Цель приводимого здесь материала – обосновать правила алгоритма двойственного симплекс-метода, суть которого заключается в следующем:

- предлагается решать исходную задачу по правилам применения алгоритма симплекс-метода к двойственной задаче, т.е. предлагается работать со структурами данных исходной задачи, а в качестве правил работы с ними использовать правила симплекс-метода, применяемого к решению двойственной ЗЛП.

Основная цель данного раздела – сформулировать положения, позволяющие обосновать работу нового алгоритма решения ЗЛП - алгоритма двойственного симплекс-метода.

Приводимые ниже положения, определяющие взаимосвязь прямой и двойственной задач могут быть сформулированы как ряд теорем с соответствующими доказательствами. Ставя перед собой задачу рассмотрения прикладных вопросов, сформулируем эти положения в виде перечня свойств прямой и двойственной задач.

1. Между решениями прямой и двойственной ЗЛП существует следующая взаимосвязь:

а) если и , то ; (1.99)

б) если в одной из задач существует оптимальное решение, то соответствующее оптимальное решение существует и в другой задаче, причем

, (1.100)

в) между следующими исходами решения прямой и двойственной задачи существует взаимно однозначное соответствие:

{ « ( )}, {( ) « };

г) псевдоплан является допустимым решением исходной задачи только в том случае, если соответствующий сопряженный базис является оптимальным базисом прямой задачи ( ).

Другими словами, для всех сопряженных базисов, кроме одного, соответствующее базисное решение исходной задачи (псевдоплан) является недопустимым. Этим и определяется использование указанного термина.

Можно показать, что найденное оптимальное решение одной из задач однозначно определяет оптимальное решение другой.

2. Если некоторая компонента псевдоплана , то вывод ее из базисного множества соответствует перемещению в пространстве двойственных переменных при котором целевая функция двойственной задачи уменьшается.

2. Максимальный шаг , который можно сделать из в выбранном в соответствии с п.2 направлением без выхода из определяется следующим соотношением, формируемым на основе матрицы прямой задачи:

(1.105)

где . (1.106)

При этом осуществляется переход к новому сопряженному базису

. (1.107)

2. Если <0 и (последнее выполняется при ), то реализовался выход на образующую области допустимых решений двойственной задачи, в направлении которой . Следовательно на основании свойства 1.в .

1.14.3. Алгоритм двойственного симплекс-метода поиска оптимального

решения ЗЛП

На основе приведенных в 1.14.2 свойств, определяющих взаимосвязь прямой и двойственной задач, могут быть сформулированы двойственные алгоритмы симплекс-таблиц или , которые отображают правила обычного алгоритма симплекс-метода применительно к двойственной ЗЛП на работу со структурой данных прямой задачи.

Структура симплекс-таблиц и ничем не отличается от ранее рассмотренных и . Преобразования симплекс-таблиц после определения разрешающего элемента (r и l) осуществляются так же, как и ранее. Отличия проявляются в следующем:

1. Алгоритмы двойственного симплекс-метода работают с последовательностью сопряженных базисов , ,…, и соответствующих им псевдопланов. В соответствии со свойствами сопряженного базиса среди базисных компонент псевдоплана (за исключением (см. свойство 1.г)) присутствуют отрицательные элементы (т.е. двойственные алгоритмы работают, как правило, с недопустимыми базисными решениями исходной задачи; в обычном же алгоритме всегда ).

2. Симплекс-разности, соответствующие , всегда неположительны ( - это основной признак сопряженности базиса, см. свойство 3), в то время как в обычном алгоритме это свойство выполняется, лишь когда ;

3. Основной ожидаемый исход работы алгоритма – нахождения оптимального решения ЗЛП – реализуется в том случае, когда (свойство 1.г), а в обычном алгоритме при выполнении условия .

4. Суть второго возможного исхода работы алгоритма двойственного симплекс-метода относительно решаемой прямой задачи является кардинально другим: , если выполняются условия свойства 4 (при работе обычного симплекс-метода второй возможный исход )

5. Изменяется порядок выбора разрешающего элемента: вначале на основе свойства 4 выбирается разрешающая строка r, а затем на основе (1.105, 1.106) выбирается разрешающий столбец l.

Для выбора r можно использовать следующие формальные соотношения:

, (1.108)

где . (1.109)

В приводимом ниже алгоритме для краткости совместим изложение вариантов и , помещая в {…} дополнительные вычислительные операции, требуемые алгоритмом .

Алгоритм двойственного симплекс-метода.

Шаг 1. k=1.

Шаг 2. Проверка условия оптимальности псевдоплана ( ). Если оно выполнятся, то

- выписывается оптимальное решение,

- алгоритм завершает свою работу.

Шаг 3. Выбор номера разрешающей строки r (1.108, 1.109).

Шаг 4. Проверка условия Æ.

{Расчет разрешающей строки матрицы : } (1.110)

Если условие ( )ÞD=Æ выполняется, то алгоритм завершает свою работу.

Шаг 5. Выбор номера разрешающего столбца l.

{Расчет строки симплекс-разностей (1.89).}

Реализация соотношений 1.105 и 1.106.

Шаг 6. Преобразование симплекс-таблицы относительно разрешаемого элемента:

1. Преобразование базисного множества;

2. { Расчет разрешающего столбца.} Преобразование действительной части симплекс-таблицы относительно разрешающего элемента.

Комментируя работу алгоритма, необходимо отметить, что при переходе от итерации k к k+1 значение целевой функции не будет возрастать, а при будет уменьшаться.

И еще одно замечание. При использовании (ручной счет) в отличие от структуры данных, показанной на рис. 1.21 используется структура данных, показанная на рис.1.25: строки матрицы на большинстве итераций алгоритма (за исключением случая ) рассчитываются парами.