Контрольная работа № 2
Контрольная работа № 2 состоит из пяти задач. Ниже подробно рассмотрены варианты решения заданий.
Образец выполнения задания № 6
Найти пределы функций.
.
Решение:
Так как заданная функция непрерывная
(при всех значениях
,
в том числе и при
),
то предел функции в
равен значению функции в этой точке,
т.е.
.
Итак,
.
2)
.
Решение:
Функция
в предельной точке
не определена. Она представляет собой
отношение двух бесконечно малых функций
при
(неопределенность вида
);
преобразуем ее, чтобы сократить на
множитель, стремящийся к нулю. Разлагаем
знаменатель на множители и сокращаем
дробь на
.
Получаем
.
3)
.
Решение:
Функция
в предельной точке
не определена. Она представляет собой
отношение двух бесконечно малых функций
при
(неопределенность вида
).
Разлагаем числитель и знаменатель дроби
на множители, затем, сокращая дробь на
,
получаем
.
4)
.
Решение:
Функция
при
представляет собой неопределенность
вида
.
Разделив числитель и знаменатель дроби
на
- наивысшую степень
,
находим
,
так
как при
величины
и
являются бесконечно малыми.
5)
.
Решение:
Функция
при
представляет собой неопределенность
вида
.
Рассматривая данную функцию как дробную,
со знаменателем, равным единице, избавимся
от иррациональности в числителе и затем
разделим числитель и знаменатель дроби
на
.
Получаем
.
6)
.
Решение:
Функция
в предельной точке
не определена, она представляет собой
отношение двух бесконечно малых функций
при
(неопределенность вида
).
Применяя
тригонометрическую формулу
и используя первый замечательный предел,
находим
.
7)
.
Решение:
Функция
в предельной точке
не определена, она представляет собой
отношение двух бесконечно малых функций
при
(неопределенность вида
).
Преобразуя функцию
и используя первый замечательный предел,
находим
.
8)
.
Решение:
Функция
в предельной точке
не определена, она представляет собой
отношение двух бесконечно малых функций
при
(неопределенность
).
Чтобы использовать первый замечательный
предел, сделаем замену переменной,
положив
.
Тогда при
будет
и
.
9)
.
Решение:
Функция
в предельной точке
не определена, она представляет собой
отношение двух бесконечно малых функций
при
(неопределенность
).
Преобразуя функцию
и используя первый замечательный предел,
находим
.
10)
.
Решение:
Функция
в предельной точке
не определена, она представляет собой
отношение двух бесконечно малых функций
при
(неопределенность
).
Чтобы использовать первый замечательный
предел, сделаем замену переменной
.
Находим
.
11)
.
Решение:
Функция
в предельной точке
не определена, она представляет собой
отношение двух бесконечно малых функций
при
(неопределенность
).
Чтобы использовать первый замечательный
предел, сделаем замену переменной
.
Находим
.
12)
.
Решение:
Функция
представляет собой отношение двух
бесконечно малых функций при
(неопределенность
).
Преобразуем ее и воспользуемся вторым
замечательным пределом
.
Число
- иррациональное,
Получаем
.
Таким
образом,
.
13)
.
Решение:
Делением числителя дроби на знаменатель
выделим целую часть
.
Таким образом,
;
так как
при
,
то
Приняв
во внимание, что
получаем, что
.
Образец выполнения задания № 7
а)
Дана функция
и значения аргумента
,
.
1) Определить пределы функции при
приближении к
,
слева и справа. 2) Установить, является
ли данная функция непрерывной или
разрывной. 3) Сделать схематический
чертеж.
Решение:
1) Исследуем на непрерывность в точке
.
По определению: функция
непрерывна в точке
,
если
.
Определим предел
слева:
.
Определим
предел справа:
.
функция
терпит разрыв в точке
второго рода.
Исследуем на непрерывность в точке .
;
.
,
в точке
непрерывна.
Рис. 5
Образец выполнения задания № 8
Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные следующих функций.
Решение:
Перепишем заданную функцию в виде
2)
Решение:
3)
Решение:
Обозначим
;
тогда
.
По правилу дифференцирования сложной
функции имеем
.
4)
.
Решение:
.
5)
.
Решение:
.
6)
.
Решение:
.
7)
.
Решение: Здесь основание и показатель степени зависят от . Логарифмируя, получим
.
Дифференцируем
обе части последнего равенства по
.
Так как
является функцией
,
то
есть сложная функция
и
.
Следовательно,
,
,
.
Образец выполнения заданий № 10
На какой высоте
надо повесить фонарь над центром круговой
площади радиуса
,
чтобы площадка была максимально освещена
у ее границы?
Из курса физики
известно, что освещенность
обратно пропорциональна квадрату
расстояния от источника света и прямо
пропорциональна косинусу угла падения
(угла, образованного нормально к
поверхности с направлением светового
потока), т.е.
,
где k зависит от силы
источника света, помещенного в точке А
(рис. 6). Из треугольника ОАВ имеем
и
.
Приняв h за независимую
переменную, получим
.
Исследуем функцию на экстремум с помощью первой производной:
;
при
.
Т
ак
как
в промежутке
и
в промежутке
,
то при
функция имеет максимум, т.е. при значении
освещенность в точке В является
наибольшей.
Рис. 6