Застосування диференціального числення для дослідження функцій

Монотонність функції. Якщо диференційовна на інтервалі і всюди, крім, можливо, скінченого числа точок, в яких на , то функція зростає (спадає) на .

Інтервали монотонності функції (інтервали спадання чи зростання) відділяються один від одного точками, де похідна функції рівна нулю або не існує. Дані точки називаються критичними точками.

Щоб знайти інтервали монотонності функції , необхідно: 1) знайти область визначення функції; 2) знайти похідну даної функції; 3) знайти критичні точки з рівняння та з умови, що не існує; 4) розділити критичними точками область визначення на інтервали і в кожному з них визначити знак похідної. На інтервалах, де похідна додатна, функція зростає, а де від’ємна – спадає.

Локальний екстремум. Достатні умови екстремуму:

Правило 1. Якщо – критична точка функції і при довільному малому виконуються нерівності , то функція в точці має максимум; якщо ж ,то в точці має мінімум; якщо ж знаки і однакові, то функція в точці екстремуму не має.

Правило 2. Якщо то функція в точці має екстремум, а саме максимум, якщо , і мінімум, якщо .

Для знаходження найбільшого (найменшого) значення функції на відрізку необхідно із значень функції на кінцях відрізка і в критичних точках, які належать даному відрізку, вибрати найбільше (найменше).

Приклад 16. (Задача 2.6) Знайдемо найбільше та найменше значення функції на відрізку .

Розв’язання.

Знаходимо екстремуми функції. Для цього обчислюємо першу похідну функції

Функція має дві критичні точки . Але точка не належить відрізку . В точці функція має максимум, причому . Обчислимо значення функції на кінцях відрізка: .

Таким чином, найбільше значення дана функція на відрізку набуває в точці , а найменше – в точці .

Опуклість. Увігнутість. Точки перегину. Графік функції називається опуклим (увігнутим) на інтервалі , якщо він розташований нижче (вище) дотичної, проведеної в довільній точці графіка над даним інтервалом.

Достатні умови опуклості (увігнутості) графіка функції: Якщо на інтервалі , то графік функції опуклий на вказаному інтервалі; якщо , то графік функції увігнутий на інтервалі .

Точка графіка функції, яка відділяє його опуклу частину від увігнутої називається точкою перегину. В абсцисах точок перегину друга похідна функції дорівнює нулю або не існує ( або – не існує). Точки, в яких або не існує, називають критичними точками другого роду.

Якщо – критична точка другого роду і при довільному достатньо малому виконуються нерівності або , то точка кривої з абсцисою є точкою перегину.

Асимптоти. Пряма називається асимптотою кривої , якщо відстань від точки кривої до прямої прямує до нуля при необмеженому віддаленні даної точки по кривій від початку координат.

Пряма є вертикальною асимптотою кривої , якщо .

Пряма є горизонтальною асимптотою кривої , якщо існує границя або .

Пряма є похилою асимптотою кривої , якщо існують границі:

або

Схема дослідження функції та побудова графіка.

1. Знайти область визначення функції, інтервали неперервності, точки розриву.

2. Знайти (якщо це можливо) точки перетину графіка з координатними осями.

3. Дослідити функцію на періодичність, парність і непарність.

4. Знайти інтервали монотонності, точки локальних екстремумів та значення функції у цих точках.

5. Знайти інтервали опуклості, ввігнутості та перегину.

6. Дослідження функції на межі області існування. Асимптоти графіка.

7. Побудувати графік функції, враховуючи дослідження.

Приклад 17. (Задача 2.7) Дослідити методами диференціаль-ного числення функцію

та побудувати її графік.

Розв’язання.

1. Область визначення: . Точки розриву .

2. Якщо , то , тому графік перетинає осі координат в точці .

3. Функція не періодична. Оскільки , то функція непарна, а отже графік функції симетричний відносно початку координат.

4. . Розв’язком даного рівняння є . Похідна не існує в . Знайдемо знаки на проміжках:

Отже, на – функція спадає, на – функція зростає, на – функція спадає.

У точках функція має локальний екстремум: – локальний максимум, – локальний мінімум.

5. Знаходимо . Похідна при і не існує при . Знайдемо знаки на проміжках:

Отже, на – крива ввігнута, на – крива опукла.

6. – вертикальні асимптоти кривої. Знайдемо похилу асимптоту кривої .

– похила асимптота.

7. Враховуючи проведені дослідження будуємо графік функції.

Рис. 6