26.Векторные подпр-ва и фактор пр-ва
Определение.
Множество
называется подпространством
векторного пространства
,
если
замкнуто относительно всех тех операций,
которые введены в
,
а именно:
1)
2)
иногда 1)-2) заменяют одной общей аксиомой
3)
Если и - два подмножества из векторного пространства , т.е. , то определим
.
Если одно из этих множеств является одноточечным, например , то будем писать . Соответственно, если , то .
Аналогично для умножения. Пусть . Определим подмножество
Если -одноточечное, т.е. , то будем писать , а если , то .
Пример 1. Рассмотрим множества и .
Тогда – открытая правая полуплоскость.
Пример 2. Пусть , тогда , а , следовательно, .
Для того, чтобы
определить фактор-пространство, введем
векторное подпространство
в векторном пространстве Х, т.е.
.
Определение.
Пусть
,
будем называть эквивалентными
x~y,
тогда и только тогда, когда
.
Свойства отношения эквивалентности:
симметричность:
,т.е.
рефлексивность:
3) транзитивность:
Класс эквивалентности
обозначим
Определение.
Множество всех классов эквивалентности
называется фактор-множеством пространства
по подпространству
и обозначается
Определим
и
,
таким образом, определили операции над
элементами фактор-множества.
Определение. называется фактор-пространством
27. ЛНЗ сис-мы. Базисы. Пример.
Определение.
Говорят, что
система векторов
линейно
независима,
если из условия, что линейная комбинация
.
В противном случае система векторов
называется линейно
зависимой.
Определение:
подмножество
называется
линейно
независимым,
если для любого конечного числа
система
линейно независима.
Определение: если в векторном пространстве существует бесконечная линейно независимая система, то векторное пространство называется бесконечномерным, в противном случае существует только лишь конечная система, называемая конечномерным.
Пример:
пусть
,
,
,
k=0,1,2,…-линейно
независимая система и пространство
бесконечномерное.
Пример: Х=
--мн-во
всех мн-нов ВП.
.В
качестве сис-мы возьмем
.
Рассмотрим ЛК
.
(2) Покажем , что
.
Продиф-ем (2)
раз
Продиф-ем
раз
В итоге сис-ма -ЛНЗ -ЛНЗ
Определение. Базисом в векторном пространстве называется любое линейно независимое и порождающее множество.
Теорема. В любом векторном пространстве существует алгебраический базис.
28.Порождающие мн-ва. Базисы. Теорема о сущ алг базиса.
Определение:
множество
называется порождающим,
если линейная оболочка этого множества
совпадает с самим множеством, т.е.
Определение. Базисом в векторном пространстве называется любое линейно независимое и порождающее множество.
Теорема (о сущ-нии алг базиса). В любом векторном пространстве существует алгебраический базис.
Если этот базис состоит из счетного числа эл-ментов, то его наз-ют счетномерным. Пр-во с конечным базисом --n-мерное конечномерное пр-во.
Возьмем
--мн-во
полиномов, степень к-рых не превосходит
n.
Размерность любого пр-ва --dimX. dim = n+1.
.
