11.Кольца мн-в и их св-ва

Определение. Пусть . называется кольцом, если оно обладает сл св-вами:

1) 2)

Кольцо обладает следующими свойствами:

.

т.к.

Кольца, содержащие , называются алгеброй.

Замечание.Если К-кольцо, то К-полукольцо. В силу св-ва 1:

A\BK  CK A\B=C

Определение. Пусть S—полукольцо. Через K(s) обозначим множество непересекающихся объединений:

Теорема (о кольце, порожденном полукольцом).

Если S – полукольцо то K(s) – кольцо.

Доказательство.

Пусть ,

где

Рассмотрим и покажем, что

I.

Покажем, что

Будем доказывать методом математической индукции (индукцию проводим по ):

1. Если , то : , где

2. Пусть наше утверждение верно при , т.е. . Покажем, что оно справедливо и для : , тогда можно записать:

Таким образом, доказали, что из справедливо:

II. Рассмотрим

Т.о. показали, что

Тогда

Мы доказали, что и

-- кольцо.

12.Теорема о распространении мера с полукольца на кольцо

Пусть мера  задана на полукольце , тогда мера  единственным образом распространяется на порождаемое кольцо К( ), а именно

(1)

Д-во:

Для возьмем , тогда ,

где - распространение (расширение) прежней меры

Если , то по (1) получаем

(2)

Определение, которое дается формулой (1), корректно, т.к. правые части (1) и (2) равны. Проверим это.

Введем обозначение , . Части не пересекаются.

Рассмотрим

Рассмотрим правую часть (1), т.е.

Таким образом, мы доказали, что правые части (1) и (2) равны.

Будем говорить, что - мера на кольце K(S). Докажем, что эта мера неотрицательна и аддитивна.

Доказательство.

1. То, что она неотрицательна из (1) как сумма неотрицательных чисел,

2. 

Докажем это.

Т.к. по условию , то их части тоже не пересекаются, т.е.

т.е. - мера на кольце (является расширением первоначальной меры на ).

13.Примеры мер, опр-ных на всех мн-вах

• , где Х—произвольное мн-во.

Определение. Мера , заданная на , называется - аддитивной, если ; причем , то .

, возьмем точку и определим меру :

Тогда называется атамарной мерой, сосредоточенной в точке .

Покажем, что это мера. Проверим аксиомы.

1. Неотрицательность следует из определения, т.е.

2. Проверим выполнение условия аддитивности.

Докажем, что

1. Пусть , тогда или .

Пусть , тогда и . В противном случае получаем и или .

2. , тогда , но , значит, т.к. , то и , то .

является мерой.

Пусть .Докажем, что -аддитивная мера.

Для доказательства необходимо рассмотреть два случая:

1)

верно равенство

2)

верно равенство

Доказали, что любая атамарная мера является -аддитивной мерой.