7.Непрерывн. Отобр., св-ва.

Рассмотрим два метрические пространства с метриками и соответственно.

Введем отображение .

- образ элемента при отображении .

Определение. Отображение называется непрерывным в точке , если

Шар для , шар для .

Определение можно переписать следующим образом:

Теорема (об эквивалентном условии непрерывности).

Для того чтобы отображение было непрерывным в точке необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности , сходящейся к при : .

Если отображение непрерывно в каждой точке , то говорят, что отображение непрерывно на всем пространстве и называется непрерывным отображением.

Множество всех непрерывных отображений из в обозначим .

Теорема (о непрерывности композиции).

Пусть непрерывные отображения , , где – метрические пространства. Тогда композиция отображений (которая определяется следующим образом ) является непрерывным отображением .

(Кратко: композиция непрерывных отображений является непрерывным отображением).

Доказательство.

Возьмем произвольное

и пусть последовательность , тогда, применяя теорему об эквивалентных условиях непрерывности, получаем . Еще раз применяя эту теорему, получаем, что . Это значит, что (3)

И снова применяя предыдущую теорему, получаем, что непрерывно в , т.е. композиция непрерывна в точке . А т.к. точка была выбрана произвольно из множества , то отображение является непрерывным.

8.Сжимающие отобр-я, св-ва

Будем рассматривать отображение F:XY с метрикой .

Определение. Отображение F:XY , где X и Y метрические пр-ва, называется сжимающим отображением (отображением сжатия), если существует число , что выполняется неравенство:

(*)

Св-во сжимающих отобр-ий.

Любое сжимающее отображение непрерывно.

Д-во.Для этого выберем произвольную точку . Полагая , из соотношения (*) получаем: (1).

. Тогда по заданному  можно построить  такое, что ( . Т.к. , то .

Таким образом,

).  А это значит по определению, что отображение непрерывно в точке .

Т.к. точка была выбрана произвольно из , то отображение непрерывно на всем пространстве.

Таким образом, любое сжимающее отображение непрерывно.

Определение. Если имеем отображение , то точка называется неподвижной точкой отображения, если .

Теорема (о единственности неподвижной точки у сжимающего отображения).

Пусть - сжимающее отображение, , тогда в отображении не может быть более одной неподвижной точки.

Доказательство.

Пусть существует хотя бы две неподвижные точки у отображения .

Если ,

тогда

Следовательно, (2)

Т.к. , то .

Неравенство (2) сокращаем на и получаем, , что противоречит .