29.Линейный оператор. Св-ва.

Определение. Отображение называется

1. однородным, если (1)

2. аддитивным, если

(2)

Определение. Если оператор однороден и аддитивен одновременно, то называется линейным оператором, т.е. выполнено . (3)

Отметим, что (1)и (2) эквивалентны (3).

Пусть дано отображение , где -нормированные пространства над полем .

Область определения оператора

Область значения оператора

Ядро оператора .

30.Линейные функционалы. Теорема Хана-Банаха.

Определение. Функционал – это отображение .

Определение. Функционал называется

1. однородным, если

2. аддитивным, если

Определение. Если функционал однороден и аддитивен одновременно, то функционал называется линейным, т.е. .

Множество всех линейных операторов, действующих из в , обозначают , а множество всех линейных функционалов на векторном пространстве называют алгебраически сопряженным пространством к и обозначается .

Линейный функционал можно рассматривать как частный случай линейного оператора при .