Изучение явления самоиндукции.

Цель работы: изучить явления электромагнитной индукции и самоиндукции; исследовать свойства катушки индуктивности в цепи с пилообразными колебаниями тока, переходные процессы в цепях с индуктивностями, амплитудно-частотную характеристику цепи с индуктивностью, изучить работу трансформатора, исследовать влияние сердечника на свойства катушки и трансформатора.

Приборы и оборудование: осциллограф, генератор сигналов, модуль с катушкой индуктивности, провод с зажимами, штангенциркуль.

Магнитный поток.

Рассмотрим плоскую площадку S, находящуюся в однородном магнитном поле B (см. рис.1). Магнитным потоком или потоком вектора магнитной индукции называется величина,

Ф=BּSּcos φ=B_nּS, (1)

где φ – угол между направлением нормали к площадке n и направлением вектора магнитной индукции B; B_n – проекция вектора B на направление нормали.

Единица магнитного потока в системе СИ называется вебером (Вб). Магнитный поток, равный 1 Вб, создается магнитным полем с индукцией 1 Тл, пронизывающим по направлению нормали плоский контур площадью 1 м².

М агнитный поток – скалярная величина, ее знак зависит от знака cos φ. Если направление нормали на рис.1 изменить на противоположное, то магнитный поток станет отрицательным. Направление нормали выбирается произвольно. Однако, направление нормали к поверхности n и направление обхода контура, ограничивающего эту поверхность, принято связывать правилом буравчика: при завинчивании буравчика по направлению нормали направление движения рукоятки покажет положительное направление обхода контура. На рис. 1 положительное направление обхода контура – против часовой стрелки.

Если магнитное поле неоднородное, а рассматриваемая поверхность не плоская, то ее можно разбить на бесконечно малые участки dS, каждый из которых можно рассматривать, как плоскость, и поле в пределах участка считать однородным. Тогда полный магнитный поток через всю поверхность будет равен сумме потоков через эти участки:

Индуктивность.

При протекании тока I по витку провода возникает магнитное поле, силовые линии которого проходят через поверхность, натянутую на виток. По закону Био-Савара магнитная индукция и, следовательно, магнитный поток Φ, пронизывающий виток, пропорциональны протекающему току: Φ ~ I или

Φ=LI. (2)

Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью проводника; он зависит от формы и размеров проводника, а также от свойств окружающей среды. При выбранной связи между направлением нормали и направлением обхода контура знаки Ф и I оказываются одинаковыми, поэтому L – положительная величина.

Единица индуктивности в СИ называется генри (Гн). Индуктивность контура или катушки равна 1 Гн, если при силе постоянного тока 1 А собственный поток равен 1 Вб.

Явление электромагнитной индукции.

При изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную проводящим контуром, в контуре возникает ток, называемый индукционным. Согласно правилу Ленца: направление индукционного тока должно быть таким, чтобы магнитное поле, создаваемое этим током, препятствовало изменению магнитного потока.

Н а рис.2 изображена плоская проводящая рамка, помещенная в однородное магнитное поле. Пусть внешнее поле, с вектором магнитной индукции B_внешн., направленным вверх, увеличивается. Найдем направление индукционного тока в рамке. Индукционный ток создаст магнитное поле B’, препятствующее изменению магнитного потока через рамку. Силовые линии этого поля в середине рамки должны быть направлены вниз. Направление тока и силовых линий связаны правилом буравчика, поэтому ток I будет протекать в рамке по часовой стрелке.

Возникновение индукционного тока указывает на наличие в цепи ЭДС.

Явление электромагнитной индукции (по Фарадею) заключается в том, что при изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную проводящим контуром, в контуре возникает ЭДС:

, (3)

где – скорость изменения магнитного потока. Знак «–» появился из-за того, что направление нормали к поверхности n и направление обхода контура связаны правилом буравчика.

Если в рассмотренном примере нормаль к плоскости рамки направить вверх, то магнитный поток через поверхность рамки будет увеличиваться, и, согласно (3), величина ЭДС должна быть отрицательной. ЭДС индукции можно изобразить, как батарею, включенную в контур (см. рис.3).

Легко проверить, что полярность батареи не изменится, если нормаль направить вниз. В этом случае, из-за того, что нормаль н аправлена против силовых линий, увеличение внешнего магнитного поля приведет к уменьшению магнитного потока. Из (3) следует, что ЭДС должна быть положительной для контура с направлением обхода по часовой стрелке, т.е. совпадает с тем, как это изображено на рис.3.

Разорвем проволочный виток и к концам провода подключим резистор R (рис.4). При изменении поля B (в данном случае увеличении), в рамке, образованной проволочным витком и резистором, возникает индукционный ток I. При протекании этого тока через резистор, на резисторе появится разность потенциалов φ₁ – φ₂, причем потенциал в точке 1 больше потенциала в точке 2. Полярность напряжения в точках 1 и 2 не изменится, если резистор заменить вольтметром.

Рассмотренный способ нахождения полярности напряжения при подключении вольтметра не является единственным, существуют и другие методы решения данной задачи. Необходимо предостеречь от следующей распространенной ошибки.

Многие студенты правильно находят направление индукционного тока в контуре, но при этом ошибочно считают, что для протекания тока по витку от точки 2 к точке 1 необходимо, чтобы потенциал φ₂ был выше потенциала φ₁, забывая при этом, что причина возникновения тока в контуре – это не напряжение, приложенное между точками 1 и 2, а результат действия сторонних сил в контуре. В рассмотренном примере напряжение между концами проводника препятствует протеканию тока.

Природа электромагнитной индукции.

Изменение магнитного потока, пронизывающего замкнутый контур, может происходить по двум причинам.

1. Магнитный поток изменяется вследствие перемещения контура или его частей в постоянном во времени магнитном поле. Это случай, когда проводники, а вместе с ними и свободные носители заряда, движутся в магнитном поле. Возникновение ЭДС индукции объясняется действием силы Лоренца на свободные заряды в движущихся проводниках. Сила Лоренца играет в этом случае роль сторонней силы.

Р ассмотрим пример. Прямоугольный контур помещен в однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости контура (рис.5.). Это поле изображено на рисунке кружками с крестиками – вектор В направлен от нас за чертеж. Пусть одна из сторон контура длиной l скользит по двум другим сторонам со скоростью v. На свободные заряды (электроны) на этом участке контура действует сила Лоренца, направленная вдоль проводника. Она играет роль сторонней силы. Ее модуль равен

F = eυB

Работа силы F на пути l равна

A = Fl = eυBl.

По определению ЭДС

В других неподвижных частях контура сторонняя сила равна нулю. Соотношению для ε_инд можно придать другой вид. За время Δt площадь контура изменяется на ΔS = lυΔt. Изменение магнитного потока за это время равно ΔΦ = BlυΔt. Следовательно,

(4)

Для того, чтобы установить знак в формуле (4), направим нормаль к поверхности контура вдоль вектора B. В этом случае по правилу буравчика положительное направление обхода контура – по часовой стрелке. Сторонние силы вызывают ток, протекающий в противоположном направлении. Поэтому ЭДС ε_инд необходимо взять со знаком "-". В итоге получится формула (3).

При рассмотрении силы, действующей на заряды в движущемся стержне, мы не учитывали движение зарядов, обусловленное протеканием тока. Из-за движения зарядов вдоль стержня появляется составляющая силы Лоренца, направленная против вектора скорости v и препятствующая перемещению стержня. Поэтому для перемещения стержня необходимо затратить работу, и эта работа в точности равна количеству теплоты, которое выделяется на омическом сопротивлении рамки при протекании индукционного тока.

При движении криволинейного участка контура или всего контура его следует мысленно разбить на достаточно малые, практически прямолинейные отрезки, найти ЭДС индукции в каждом отрезке и алгебраически сложить все ЭДС индукции. Полученная сумма даст значение ЭДС индукции в криволинейном контуре.

2. Вторая причина изменения магнитного потока, пронизывающего контур, – изменение во времени магнитного поля при неподвижном контуре. В этом случае возникновение ЭДС индукции уже нельзя объяснить действием силы Лоренца. Электроны в неподвижном проводнике могут приводиться в движение только электрическим полем.

Я вление электромагнитной индукции Максвелл объяснил тем, что изменяющееся магнитное поле порождает вихревое электрическое поле (см. рис.6). В отличие от электростатического поля, силовые линии вихревого поля замкнутые. Вихревое электрическое поле не потенциально, поэтому силы, действующие на заряд со стороны такого поля, являются сторонними. Поле существует не зависимо от проводящего контура. Контур является лишь индикатором этого поля. Поле действует на носители заряда в проводнике, и, если проводник замкнут, в нем возникает ток.

Явления электромагнитной индукции в движущихся и неподвижных проводниках описываются одной и той же формулой (3), но физическая причина возникновения индукционного тока в этих двух случаях оказывается различной.

Важные замечания.

Магнитное поле внутри витка создается как внешним полем, так и полем тока, протекающего в витке. Магнитный поток Ф в законе электромагнитной индукции равен сумме потоков, создаваемых внешним полем и полем тока витка.

Если в переменное магнитное поле поместить не один виток, а катушку, состоящую из N одинаковых витков, то ЭДС катушки будет равна сумме ЭДС в каждом витке:

, (5)

где – скорость изменения магнитного потока через один виток.

Явление самоиндукции.

Явление электромагнитной индукции наблюдается во всех случаях, когда изменяется магнитный поток сквозь контур. При этом совершенно не важно, по какой причине это изменение происходит. Например, при изменении тока в проводящем витке создаваемое им магнитное поле меняется. Следовательно, изменяется и магнитный поток Ф, охватываемый витком. В витке по закону электромагнитной индукции возникает ЭДС:

, (6)

где – скорость изменения магнитного потока через виток, обусловленная изменением тока. После подстановки в (6) выражения (2) найдем:

. (7)

В еличина ЭДС пропорциональна скорости изменения тока.

ЭДС, возникающая в проводнике при изменении тока, называется ЭДС самоиндукции.

Рассмотрим пример. Пусть к источнику питания ε с внутренним сопротивлением r в некоторый момент времени подключают проводник (см. рис.7.). В цепи начинает протекать ток I. Создаваемое им магнитное поле B пронизывает контур, образованный источником и проводником. В примерах, рассмотренных ранее, изменялось внешнее поле. Теперь изменяется собственное поле тока, протекающего в проводнике. По закону электромагнитной индукции в контуре возникает ЭДС самоиндукции ε_с, стремящаяся создать ток I_с, который препятствует изменению магнитного потока. Как и на рисунках, приведенных выше, индукционный ток должен протекать в контуре по часовой стрелке – против тока, созданного батареей. Не смотря на то, что батарея подключена к проводнику с нулевым сопротивлением, на клеммах батареи появится отличное от нуля напряжение, обусловленное ЭДС самоиндукции. Полярность этого напряжения указана на рисунке. ЭДС самоиндукции включена встречно с ЭДС батареи, и тем самым она уменьшает результирующую ЭДС в контуре. Таким образом, ЭДС самоиндукции стремится уменьшить изменение тока в проводнике.

Явление самоиндукции заключается в том, что при изменении тока в проводнике возникает ЭДС, препятствующая этому изменению.

Расчет индуктивности катушки.

Р

B₀

ассчитаем индуктивность одного витка, сделанного плоским проводником шириной h.

Пусть виток имеет прямоугольную форму (см.рис.8). Размеры прямоугольника a x b. Пусть a >> b. Поле внутри витка можно приближенно рассматривать, как поле двух бесконечных плоскостей с токами, протекающими в противоположные стороны: , где i – поверхностная плотность тока, , I – ток в витке, Гн/м – магнитная постоянная. Магнитный поток, пронизывающий виток: . Откуда индуктивность одного витка:

(8)

Если сделать несколько витков, то, во-первых, магнитное поле увеличится в N раз; во-вторых, в это поле будет пронизывать N витков. Поэтому магнитный поток через катушку увеличится в N² раз: . Индуктивность катушки, имеющей N витков можно приблизительно рассчитать по формуле:

. (9)

Если катушка находится в среде с магнитной проницаемостью µ, то поле, создаваемое током, будет в µ раз усилено: , а индуктивность катушки будет рассчитываться, как

. (10)

Для изменения µ внутрь катушки вставляется сердечник. Если сердечник изготовлен из проводящего материала, то под действием переменного магнитного поля в нем должны возникать кольцевые токи (токи Фуко): сердечник можно представить как замкнутый виток, в котором переменный магнитный поток вызывает ЭДС, и по закону Ома в этом витке возникает ток. Чтобы воспрепятствовать появлению токов, сердечники изготавливают из пластин, изолированных друг от друга тонким слоем лака.

Принцип работы трансформатора.

Пусть поверх тонкой катушки, имеющей N₁ витков, намотана еще одна катушка с N₂ витками. Если в первой катушке (назовем ее первичной катушкой) протекает ток I, то все силовые линии магнитного поля, создаваемого первичной катушкой, будут также пронизывать витки второй катушки (вторичной), и через любой виток обоих катушек будет проходить одинаковый магнитный поток Ф₀. В случае переменного тока магнитный поток также будет переменным, в катушках возникнет ЭДС: в первичной – ЭДС самоиндукции , во вторичной – ЭДС индукции . Эти две катушки образуют трансформатор напряжения – устройство для преобразования напряжения. Напряжение, поданное на первичную обмотку, преобразуется в напряжение вторичной обмотки. Отношение

(11)

называется коэффициентом трансформации. Нетрудно видеть, что коэффициент трансформации в данном случае равен

. (12)

Для уменьшения габаритов и снижения потерь трансформаторы, используемые в низкочастотных устройствах, изготавливают с ферромагнитным (часто железным) сердечником.

Особенности цепей с индуктивностями.