Численное интегрирование

Постановка задачи

Под численным интегрированием понимают приближённое вычисление интеграла, если подынтегральная функция имеет сложное аналитическое выражение или задана таблично, то точные методы интегрирования, изученные в математическом анализе, становятся неприменимыми. Для таких интегралов разработаны приближённые способы вычисления.

Формулы приближённого вычисления интегралов называются квадратурными формулами. Основная идея построения этих формул основана на замене подынтегральной функции приближающей функцией интеграл от которой легко вычислить.

Простейшие квадратурные формулы могут быть получены из геометрических соображений.

Если заменить участок кривой примой , где и , то получим: - квадратурная формула трапеций.

Всякую квадратурную формулу можно записать в следующем наиболее общем виде: (1), где

коэффициенты квадратурной формулы; узлы квадратурной формулы; погрешность, остаточный член квадратурной формулы; целое число, которое выбирается из соображений точности; весовая функция; известная подынтегральная функция.

Разные квадратурные формулы отличаются друг от друга способом выбора узлов и коэффициентов.

Определение. Говорят, что квадратурная формула (1) является точной, если .

В общем же случае это не так и квадратурную формулу (1) часто записывают в следующем виде: (2).

Большинство квадратурных формул основаны на приближённой замене подынтегральной функции алгебраическим многочленом. В связи с этим возникает понятие алгебраической степени точности квадратурной формулы.

Говорят, что квадратурная формула (1) имеет алгебраическую степень точности если она точна ( ) для всех алгебраических многочленов степени и не является точной хотя бы для одного алгебраического многочлена степени .

Замечание 1. На основе теоремы Вейерштрасса любую непрерывную функцию на конечном отрезке можно сколь угодно точно приблизить алгебраическим многочленом (за счёт увеличения степени многочлена). Поэтому следует ожидать, что чем выше алгебраическая степень точности квадратурной формулы, то тем более точный результат она будет давать на классе непрерывных функций.

Замечание 2. Если квадратурная формула точна для всех алгебраических многочленов степени , то она будет точна и для всех алгебраических многочленов степени .

Интерполяционные квадратурные формулы

Построение этих формул основано на замене подынтегральной функции ее интерполяционным многочленом.

Выберем на отрезке интегрирования совокупность попарно различных узлов интерполяции: узел и представим подынтегральную функцию в виде суммы: .

В качестве интерполяционного многочлена будем рассматривать интерполяционный многочлен Лагранжа:

,

тогда

(3).

где

, (4)

(5).

Квадратурная формула (3) называется интерполяционной квадратурной формулой. Её узлы совпадают с узлами интерполяции, а коэффициенты вычисляются по формуле (4).

Теорема (об интерполяционных квадратурных формулах). Для того чтобы квадратурная формула (1) была точна для любого алгебраического многочлена степени необходимо и достаточно чтобы она была интерполяционной.

Замечание. Из этой теоремы следует, что алгебраическая степень точности интерполяционных квадратурных формул равна, по меньшей мере, .

Рассмотрим вопрос об оценке погрешности (5) интерполяционной квадратурной формулы.

Предположим, что в квадратурной формуле (1) подынтегральная функция и ее производные непрерывны (производные до -го порядка включительно) на и пусть: . Тогда из (5) получим:

(6).

Заметим, что если функция изменяет свой знак на , то оценка (6) для погрешности может быть сильно завышенной.