3. Нормальные и касательные напряжения при изгибе

При поперечном изгибе в сечении балки действуют нормальные и касательные напряжения. Касательные напряжения , как и нормальные , распределены по сечению неравномерно. Следовательно неравномерно будут распределены и угловые деформации, что приводит к искривлению поперечных сечений.

Исследованиями установлено, что влиянием искажений на величину нормальных напряжений зависит от отношения высоты сечения h к длине l балки и при h/ l это влияние незначительно.

Поэтому, для определения нормальных напряжений используется формула для случая чистого изгиба.

где J_x–момент инерции сечения относительно главной центральной оси х; М_х – значение изгибающего момента в сечении балки; у –координата точки в которой определяется нормальное напряжение.

Из формулы следует, что нормальные напряжения по высоте поперечного сечения изменяются по линейному закону.

При плоском изгибе нейтральная ось совпадает с главной центральной осью х. В точках нейтральной оси =0, при у=0, а наибольшие и наименьшие значения напряжений принимают в верхних

( у = –у_в) и нижних ( у =у_н) волокнах, наиболее удалённых от нейтральной оси х.

Пусть М_х>0, тогда получим

Знак напряжений в формуле определяется знаком изгибающего момента и знаком ординаты у, при этом ось у направляем вниз. Координата точки отчитывается от нейтральной оси х.

Для сечений, симметричных относительно нейтральной оси

у_н = у_в = h/2, напряжения в крайних волокнах в этом случае равны и отличаются знаками

где W_x= –момент сопротивления относительно нейтральной оси. Моменты инерции и моменты сопротивления сечений относительно главных центральных осей находятся по следующим формулам:

для прямоугольного сечения

для сплошного круглого сечения

для прокатных профилей (двутавр, швеллер и других) величины Jx W_x приведены в сортаменте.

Вертикальные касательные напряжения определяются по формуле Д.И. Журавского

где –момент инерции относительно нейтральной оси х;

= А_оТс у – статический момент отсечённой площади сечения А_оТс, относительно нейтральной оси; у –координата центра тяжести отсечённой площади.

В силу закона парности касательных напряжений возникают такие же напряжения в продольных сечениях балки.

Касательные напряжения находятся по следующим формулам:

для прямоугольного сечения

Из формулы следует, что касательные напряжения изменяются по высоте сечения по закону квадратной параболы.

При касательные напряжения в точках крайних волокон равны нулю, а при у=0 в точках на уровне нейтральной оси касательные напряжения наибольшие.

А=bh,

для круглого сплошного сечения, применив формулу Журавского, можно найти на уровне нейтральной оси наибольшие касательные напряжения

А=

Рассмотрим распределение касательных напряжений в стенке двутаврового сечения.

На уровне примыкания стенки к полкам касательные напряжения равны

b(y)=d,

На уровне нейтральной оси в стенки двутавра возникают наибольшие касательные напряжения

Для прокатных двутавров и швеллеров величина статического момента половины сечения приведена в сортаменте.