Треугольник: определение и виды.
Треугольник − простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны.
Виды: прямоугольный (один из углов = 90°), тупоугольный (один из углов больше 90°), остроугольный (без прямых и тупых углов (?)); равносторонний (все стороны равны), равнобедренный (2 стороны равны), разносторонний (?).
Равные треугольники (определение). Признаки равенства треугольников.
Два треугольника равны, если элементы (т.е. стороны и углы) одного Δ соответственно равны элементам другого Δ.
Обратная: если два треугольника равны, то элементы одного Δ соответственно равны элементам другого Δ.
Первый признак равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного Δ соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого Δ, то такие треугольники равны. (стр. 30)
Доказательство на стр. 30 в учебнике.
Второй признак равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного Δ соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого Δ, то такие треугольники равны.(стр. 38)
Доказательство на стр. 38 в учебнике.
Третий признак равенства треугольников: если три стороны одного Δ соответственно равны трём сторонам другого Δ, то такие треугольники равны.
Доказательство на стр. 39 в учебнике.
Внешний угол треугольника: определение и свойства. (стр. 70)
В
нешний
угол Δ
– угол, смежный с углом Δ при данной
вершине.
Он равен сумме двух углов Δ, не смежных с ним.
Доказательство: на рисунке ∠4 – внешний угол, смежный с ∠3 данного треугольника. Т.к. ∠4+∠3=180°, а по теореме о сумме углов треугольника (∠1+∠2)+ ∠3=180°, то ∠4=∠1+∠2, что и требовалось доказать.
Медиана, биссектриса и высота треугольника: определение и свойства. (стр. 33)
Биссектриса – отрезок, делящий угол Δ на две равные части и соединяющий вершину Δ с точкой противоположной стороны.
Медиана – отрезок, соединяющий вершину Δ с серединой противоположной стороны.
Высота – перпендикуляр, проведённый из вершины Δ к прямой, содержащей противоположную сторону.
Равнобедренный треугольник. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника (доказательство).(стр. 35)
Равнобедренный Δ – это Δ, в котором две стороны равны. Равные стороны называются боковыми, третья сторона – основание.
В равнобедренном Δ углы при основании равны.
Доказательство: рассмотрим равнобедренный ΔАВС с основанием ВС и докажем, что ∠В=∠С. Пусть АD – биссектриса Δ АВС. ΔАВС и ΔАСD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ=АС по условию, АD – общая сторона, ∠1=∠2 так как АD – биссектриса).В равных треугольников против равных сторон лежат равные углы, поэтому ∠В=∠С. Теорема доказана.
Свойство медианы равнобедренного треугольника, проведённой к основанию (доказательство). (стр. 35)
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Доказательство: ΔАВС – равнобедренный. ВС – основание, АD – медиана. ΔСАD и ΔСВD равны по второму признаку (АС=ВС по условию, ∠САD=∠СВD, АD=ВD т.е. D – середина отрезка АВ). Из равенства треугольников CBD и CAD следует равенство углов: ∠ACD=∠BCD и ∠ADC=∠BDC. Т.к. углы ACD и BCD равны, то СD – биссектриса. Поскольку углы ADC и BDC смежные и равны друг другу, они прямые. Следовательно, отрезок CD является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.