2. Практическое применение (расчет) средних величин

Задача 4.1.Определить: Средние величины для чисел 4 и 7 (n=2) при разных значениях m:

xi		1 /х
4	16	1/4
7	49	1/7

(К_в = N_сп ; x_{i вар} = x_i + К_в )

Решение: Математические выражения практически применяемых средних, выводятся из общей степенной средней:

х _ср = ^m √ x ^m_i / n ,

где: m – показатель степени средней, n = число единиц совокупности,

x_i = индивидуальное значение признака i-ой единицы совокупности.

1) Средняя гармоническая (m= -1):

х_{ср.гарм} = ;

2) Средняя геометрическая (m= 0). х_{ср.геом} = ⁿ √ Π x_i = ² √4*7 = √28 = 5,29;

3) Средняя арифметическая (m=1): х_ср.ар. = ;

4) Средняя квадратическая (m = 2) х_ср.кв. =√ √(4² + 7²) / 2= √65 / 2 = 5,7.

Принцип мажорантности: с возрастанием m величина средней возрастает: х_{ср.гарм} <х_{ср.геом} <х_ср.ар<х_ср.кв.

Разность между наибольшей и наименьшей средней составляет:

х _ср = х_ср.кв.- х_{ср.гарм} = 5,7 – 5,09 = 0,61 или 11,98 %., поэтому правильный выбор вида средней для изучаемой совокупности имеет существенное значение.

Задача 4.2. Определение средней цены продукции.

Дано: Предприятие в отчетном периоде реализовало три вида продукции. Данные приведены в таблице.

Определить: Среднюю цену из трех видов продукции (товара) предприятия, используя разные виды средней. (К_в = N_сп ; q_{i вар} = q_i + К_в )

Таблица. Объем реализации продукции (р_i – руб., q_i - тыс. шт.)

№ п/п	Вид продукции	Кол-во, fi (qi)	Цена за единицу, рi	Объем реализации Qреал (рi qi)
1	2	3	4	5
1	А	20	30	600
2	Б	50	20	1000
3	В	10	35	350
-	Итого:	80	-	1950

Решение:1) Средняя арифметическая: х _ср.ар. = руб.

2) Средняя арифметическая взвешенная

х _{ср.ар.взв} = руб

3) Средняя гармоническая (при n= ∑ Q_i): (превращенная средняя арифметическая)

х _{ср.гарм} = руб

Верной является среднегармоническая цена, которая в данном случае совпадает с средневзвешенной: х _{ср.ар.взв} = 24,37 руб

Задача 4.3. Расчет средней скорости движения автомобиля.

Дано: Два автомобиля (n=2) проехали одно и то же расстояние со скоростью: V₁= 60 км /ч, V₂ = 80 км / ч. (К_в = N_сп +5; V_{1.2 вар}= V_1,2 + К_в )

Определить: Среднюю скорость двух автомобилей.

Решение: 1.) Средняя гармоническая V_сргарм= км / ч.

2)Средняя арифметическая: V_{срарифм}= км /ч.

Верным значением будет V_сргарм = 68,6 км/ч.

Заключение

В заключении подведем итоги. Средние величины — это обобщающие показатели, в которых находят выражения действие общих условий, закономерность изучаемого явления. Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных правильно статистически организованного массового наблюдения (сплошного или выборочного). Однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений). Применение средних должно исходить из диалектического понимания категорий общего и индивидуального, массового и единичного.

Средняя отражает то общее, что складывается в каждом отдельном, единичном объекте благодаря этому средняя получает большое значение для выявления закономерностей присущих массовым общественным явлениям и незаметных в единичных явлениях.

Отклонение индивидуального от общего — проявление процесса развития. В отдельных единичных случаях могут быть заложены элементы нового, передового. В этом случае именно конкретных фактор, взятые на фоне средних величин, характеризует процесс развития. Поэтому в средней и отражается характерный, типичный, реальный уровень изучаемых явлений. Характеристики этих уровней и их изменений во времени и в пространстве являются одной из главных задач средних величин. Так, через средние проявляется, например, свойственная предприятиям на определенном этапе экономического развития; изменение благосостояния населения находит свое отражение в средних показателях заработной платы, доходов семьи в целом и по отдельным социальным группам, уровня потребления продуктов, товаров и услуг.

Средний показатель — это значение типичное (обычное, нормальное, сложившееся в целом), но таковым оно является по тому, что формируется в нормальных, естественных условиях существования конкретного массового

явления, рассматриваемого в целом. Средняя отображает объективное свойство явления. В действительности часто существует только отклоняющиеся явления, и средняя как явления может и не существовать, хотя понятие типичности явления и заимствуется из действительности.

Средняя величина является отражения значения изучаемого признака и, следовательно, измеряется в той же размеренности что и этот признак. Однако существуют различные способы приближенного определения уровня распределения численности для сравнения сводных признаков, непосредственно не сравнимых между собой, например средняя численность населения по отношению к территории (средняя плотность населения). В зависимости от того, какой именно фактор нужно элиминировать, будет находиться и содержание средней.

Сочетание общих средних с групповыми средними дает возможность ограничить качественно однородные совокупности. Расчленяя массу объектов, составляющих то или иное сложное явления, на внутренне однородные, но качественно различные группы, характеризуя каждую из групп своей средней, можно вскрыть резервы процесс нарождающегося нового качества. Например, распределения населения по доходу позволяет выявить формирование новых социальных групп. Подводя итог можно сказать, что область применения и использования средних величин в статистике довольно широка