Методические указания к решению задачи 2

Решение задач этой группы требует знания учебного материала тем 5, 6, отчетливого представления об особенностях соединения источников и потребителей в звезду и треугольник, соотношениях между линейными и фазными токами и напряжениями, а также умения рассчитывать нагрузку на фазы и строить векторные диаграммы при симметричной и несимметричной нагрузках. Для пояснения методики решения задач на трехфазные цепи рассмотрены примеры 2, 3.

Пример 2. В трехфазную четырех проводную сеть включили звездой несимметричную нагрузку: в фазу А – индуктивный элемент с индуктивностью L_A = 31,8 мГн, в фазу В – резистор с сопротивлением R_B = 8 Ом, и емкостный элемент с емкостью С_В = 530 мкФ, в фазу С – резистор с сопротивлением R_С = 5 Ом. Линейное напряжением сети U_HOM = 380 B. Определить фазные токи I_A, I_B, I_C, активную мощность цепи P, реактивную мощность Q и полную мощность S.

Схема цепи дана на рис. 2.

Решение:

Дано: L_A = 31,8, R_С = 5 Ом,

С_В = 530 мкФ, U_HOM = 380 B,

R_B = 8 Ом, f = 50 Гц.

Определить: I_A, I_B, I_C, P, Q, S.

Рис. 2

1. Определить фазные напряжения:

U_А = U_В = U_С = U_Ф;

U_HOM = U_ЛИН;

В четырехпроводной цепи при любой нагрузке фаз выполняется соотношение:

U_ЛИН = √3 · U_Ф,

U_А = U_В = U_С = U_HOM / √3 = 380 / 1,73 = 220 В.

2. Определяем сопротивление индуктивного элемента L_A:

Х_А = 2π · f · L_A = 2 · 3,14 · 50 · 31,8 · 10³ = 10 Ом.

3. Определяем сопротивление емкостного элемента в фазе В:

Х_В = 1 / (2π · f · С_В) = 1 / (2 · 3,14 · 50 · 530 · 10^-6) = 6 Ом.

4. Определяем полное сопротивление в фазе В:

Z_B = √R_B² + (-Х_В)² = √8² + (-6)² = 10 Ом.

5. Находим фазные токи, применяя закон Ома для участка цепи:

I_A = U_А / Х_А = 220 / 10 = 22 А,

I_B = U_В / Z_B = 220 / 10 = 22 А,

I_C = U_С / R_С = 220 / 5 = 44 А.

6. Определяем активную мощность фазы А:

P_A = I_A² · R_A = 0;

7. Определяем активную мощность фазы В:

P_B = I_B² · R_B = 22² · 8 = 3872 Вт.

8. Определяем активную мощность фазы С:

P_С = I_С² · R_С = 44² · 5 = 9680 Вт.

9. Активная мощность трехфазной цепи равна:

Р = P_A + P_B + P_С = 3872 + 9680 = 13552 Вт.

10. Определяем реактивную мощность в фазе А:

Q_A = I_A² · X_A = 22² · 10 = 4840 ВАр.

11. Определяем реактивную мощность в фазе В:

Q_В = I_В² · X_В = 22² · (-6) = -2904 ВАр.

12. Реактивная мощность цепи:

Q = Q_A + Q_В + Q_С;

Q_С = 0, так как в фазе С нет реактивных элементов.

Q = 4840 – 2904 = 1936 Вар.

13. Полная мощность трехфазной цепи равна:

S = √P² + Q²

S = √13552² + 1936² = 13686 ВА = 13,7 кВА.

Ответ: I_A = 22 А, I_B = 22 А, I_C = 44 А, Р = 13,55 кВт, Q = 1,94 кВАр, S = 13,7 кВА.

Пример 3. В трехфазную сеть включили треугольником несимметричную нагрузку. В фазу АВ – емкостный элемент С_AВ = 318,5 мкФ, в фазу ВС – индуктивный элемент с активным сопротивлением R_ВС = 4 Ом и индуктивностью L_BC = 9,55 мГн, в фазу С – резистор с сопротивлением резистор R_СА = 10 Ом. Линейное напряжением сети U_HOM = 220 B. Определить фазные токи I_AВ, I_BС, I_CА, активную мощность цепи P, реактивную мощность Q и полную мощность трехфазной цепи S. Схема цепи дана на рис. 4.

Решение:

Дано: С_AВ = 318,5, f = 50 Гц,

R_ВС = 4 Ом, U_HOM = 220 B.

L_BC = 9,55 мГн,

Определить: I_AВ, I_BС, I_CА, P, Q, S.

1. При соединении потребителей треугольником выполняется соотношение:

U_HOM = U_ЛИН = U_Ф = U_АВ = U_ВС = U_СА = 220 В.

2. Определяем сопротивление емкостного элемента в фазе АВ:

Х_АВ = 1 / (2 · π · f · С_АВ) = 1 / (2 · 3,14 · 50 · 318,5 · 10^-6) = 10 Ом.

3. Определяем сопротивление индуктивного элемента в фазе ВС:

Х_ВС = 2 · π · f · L_ВС = 2 · 3,14 · 50 · 9,55 · 10^-3 = 3 Ом.

4. Определяем полное сопротивление фазы ВС:

Z_BС = √R_BС² + Х_ВС² = √4² + 3² = 5 Ом.

5. Определяем фазные токи:

I_AВ = U_АВ / Х_АВ = 220 / 10 = 22 А,

I_BС = U_ВС / Z_BС = 220 / 5 = 44 А,

I_CА = U_СА / R_СА = 220 / 10 = 22 А.

6. Определяем активную мощность Р_АВ:

P_AВ = I_AВ² · R_AВ = 0;

7. Определяем активную мощность фазы Р_ВС:

P_BС = I_BС² · R_BС = 44² · 4 = 7744 Вт.

8. Определяем активную мощность фазы Р_СА:

P_СА = I_СА² · R_СА = 22² · 10 = 4840 Вт.

9. Определяем реактивную мощность в фазе Q_AB:

Q_AВ = I_AВ² · (-X_AВ) = 22² · (-10) = - 4840 ВАр.

10. Определяем реактивную мощность в фазе Q_ВС:

Q_ВС = I_ВС² · X_ВС = 44² · 3 = 5808 ВАр.

11. Определяем реактивную мощность в фазе Q_СА:

Q_СА = I_СА² · X_СА = 22² · 0 = 0

12. Определяем активную мощность трехфазной цепи:

Р = P_AВ + P_BС + P_СА = 7744 + 4840 = 12584 Вт.

13. Определяем реактивная мощность всей цепи:

Q = Q_AВ + Q_ВС + Q_СА = -4840 + 5808 = 968 Вар.

14. Определяем полную мощность трехфазной цепи:

S = √P² + Q²

S = √12584² + 968² = 12638 ВА = 12,6 кВА.

Ответ: I_AВ = 22 А, I_BС = 44 А, I_CА = 22 А, Р = 12584 Вт, Q = 968 ВАр, S = 12638 ВА.