Основные методические положения, используемые при решении задач на пересечение многогранника плоскостью (эпюр 2)

Задача на построение линии перемещения многогранной поверхности с плоскостью сводится к многократному решению задачи на определение точки пересечения прямой линии (ребра) с плоскостью. Найденные точки пересечения соединяются ломаной линией, а затем определяется видимость.

При изучении способа замены плоскостей проекций необходимо иметь ввиду, что фигура не меняет своего положения в пространстве, плоскость же проекций π₁ или π₂ заменяют новой плоскостью соответственно π₄ или π₅. Такую замену проводят последовательно, сначала заменяют одну плоскость, затем другую.

При построении проекции фигуры на новой плоскости проекций необходимо помнить, что происходит переход от одного эпюра к другому, на котором соответственные проекции точек тоже расположены на линии связи. Координата точки на новой плоскости проекций равна координате точки на заменяемой плоскости проекций.

При использовании способа вращения или плоскопараллельного перемещения меняется положение фигур относительно плоскостей проекций, сами же плоскости проекций своего положения не меняют. Это приводит к построению новых проекций на тех же плоскостях. Вращение (в зависимости от характера задачи) выполняют в два этапа – вначале вращение производят вокруг одной оси, затем вокруг другой. Плоскопараллельное перемещение может быть выполнено также в плоскостях, параллельных вначале одной плоскости проекций, а затем другой плоскости.

1. Линия перемещения точки (траектория) представляет собой окружность. Так как плоскость траектории параллельна плоскости проекций, то проекции точки перемещаются: одна по окружности, другая по прямой параллельной оси проекций.

2. Горизонталь или фронталь преобразуется в прямую, перпендикулярную плоскости проекций, одним вращением.

3. Прямую общего положения можно преобразовать в прямую, перпендикулярную какой-либо плоскости проекций, в результате двух вращений: вначале вокруг одной оси, а затем вокруг второй. Эти оси взаимно перпендикулярны.

4. Проекция фигуры на ту плоскость проекций, на которой ось вращения проецируется в точку, не изменяется ни по величине, ни по форме, изменяется только её положение относительно оси проекций

5. Ось проекций не участвует в решении задач (как это имеет место при замене плоскостей проекций), поэтому на чертеже она может быть не проведена.

Применяя способ плоскопараллельного перемещения, перемещают фигуру так, что все её точки перемещаются в плоскостях, параллельных какой-либо одной плоскости проекций. Поэтому проекции траекторий точек на вторую плоскость проекций представляют собой прямые линии, параллельные оси проекций. Как при вращении вокруг осей, перпендикулярных плоскостям проекций, при плоскопараллельном перемещении одна проекция фигуры не меняется ни по величине, ни по форме.

При вращении вокруг осей, параллельных плоскостям проекций, плоскость фигуры совмещается с плоскостью, параллельной одной из плоскостей проекций. Проекция траектории точки на эту плоскость представляет собой отрезок прямой линии, перпендикулярной проекции оси вращения. При этом радиус вращения точки проецируется в натуральную величину, так как становится параллельным плоскости проекций.

В частном случае ось вращения может лежать в плоскости проекций (след плоскости).

При решении метрических задач способами преобразования проекций следует исходить из следующих основных положений:

1. Плоская фигура проецируется в натуральную величину на ту плоскость проекций, которой она параллельна;

2. Отрезок, определяющий расстояние между двумя параллельными прямыми, проецируется в натуральную величину в случае, если плоскость, в которой лежат прямые, параллельна плоскости проекций или, когда прямые перпендикулярны плоскости проекций и проецируются на эту плоскость в точки;

3. Расстояние между скрещивающимися прямыми может быть определено, когда одна из прямых проецируется в точку. Расстояние (отрезок перпендикуляра) между этой точкой (проекцией прямой) и проекцией второй прямой является искомым;

4. Расстояние от точки до плоскости проецируется в натуральную величину на ту плоскость проекций, которая перпендикулярна заданная плоскость;

5. Если пересекающиеся плоскости перпендикулярны плоскости проекций, то угол между ними проецируется на эту плоскость проекций в натуральную величину. Для этого нужно, чтобы линия пересечения данных плоскостей была перпендикулярна плоскости проекций;

6. Спроецировать прямую общего положения в точку можно в результате двух перемещений (поворотов) прямой или двух замен плоскости проекций;

7. Спроецировать фигуру, лежащую в плоскости общего положения, в отрезок прямой линии можно одним перемещением (поворотом) или одной заменой плоскости проекций. Для этого нужно горизонталь или фронталь плоскости фигуры расположить перпендикулярно плоскости проекций или плоскость проекций расположить перпендикулярно одной из этих линий;

8. Чтобы фигура, лежащая в плоскости общего положения, стала параллельна плоскости проекций, нужно дважды переместить фигуру (повернуть её) или дважды заменить плоскость проекций. Вначале плоскость фигуры нужно сделать проецирующей, а затем параллельной плоскости проекций. Вращая фигуру вокруг оси, параллельной или лежащей в плоскости проекций (т.е. вокруг горизонтали, фронтали или одного из следов плоскости), можно найти её величину в результате одного вращения.

9. В решении некоторых задач возможно сочетание различных способов.