1.6.2 Закон збереження заряду.

ЗАКОН БЕЗПЕРЕРВНОСТІ.

Візьмемо «div» від першого рівняння Максвелла (1.16)

.
З векторного аналізу відомо, що
.

тоді

.

(1.20)

Це і є рівнянням безперервності.

З виразу (1.20) випливає, що лінії повного струму завжди замкнені. Там де кінчаються лінії струму провідності, починаються лінії струму зміщення і навпаки.

З виразу (1.20) отримаємо

,

але згідно з третім рівнянням Максвелла (1.18)

.

Тоді

,

(1.21)

Формула (1.21) є законом збереження заряду в диференційній формі.

Проінтенгруємо (1.21) по будь якому об’єму та використаємо теорему Остроградського-Гаусса

,

Формула

,

(1.22)

і являє собою закон збереження в інтегральній формі.

Формулюється закон збереження так.

Потік вектора густини струму через будь яку замкнену поверхню дорівнює з протилежним знаком швидкості зміни заряду в об’ємі , обмеженому поверхнею .

Фізичний зміст збереження заряду такий.

Електричні заряди не виникають і не зникають. Коли із замкнутої поверхні витікає струм (струм позитивний), то кількість заряду усередені зменшується і навпаки.

Джерелами ліній густини струму є точки поля, в яких густина заряду змінюється залежно до часу.

1.6.3. ЗАКОН ОМА В ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІЙ ФОРМІ

Цей закон відноситься до основних рівнянь ЕД і установлює зв’язок між густиною струму провідності та напруженістю електричного поля в точці провідного середовища ( ).

Від звичайного закону Ома можна перейти до диференціальної форми:

(1.23)

1.6.4 Повна система рівнянь електродинаміки.

Провести аналіз електромагнітних процесів можливо тільки на основі повної системи рівнянь електродинаміки:

Інтегральна форма	Диференціальна форма
*
*
*
*	*

* – Незалежні рівняння.

Рівняння електродинаміки є лінійними диференціальними рівняннями. Тому можна стверджувати, що ЕМП підпорядковується принципу суперпозиції: поле створене кількома джерелами, можна розглядати як суму полів, створених кожним джерелом.

1.7. Граничні умови для нормальних складових векторів емп

Постановка задачі

Нехай поверхня є межею розподілу двох середовищ. Візьмемо на межі розподілу такий маленький елемент , щоб в його межах поле можна було вважати однорідним, і побудуємо на ньому циліндр (рис.1.11) висотою . Поверхня має поверхневу густину заряду .

Рис. 1.11

Необхідно знайти граничні умови для нормальної складової вектора .

Для цього застосуємо до циліндричної поверхні третій закон електродинаміки:

.

Розіб’ємо цей інтеграл по перервні циліндра (рис.1.11) на три інтеграли:

Через те, що поле в мережах та однорідне, густина заряду в межах також однорідна, то такий вираз спрощується

,

де ,

,

.

При зменшенні так, щоб та збігалися з , буде

, , .

;

; ;

Граничні умови для нормальної складової вектора будуть становити:

Коли , то

.

ВИСНОВОК:

При переході межі розподілу двох середовищ нормальна складова вектора змінюється стрибком, що дорівнює поверхневій густині заряду.

Коли зарядів на поверхні немає, то нормальна складова вектора безперервна.

Фізичне пояснення зображене на рис. 1.12.

Рис. 1.12

З урахуванням матеріальних рівнянь для випадку, коли , можна записати

,

або

Тобто нормальна складова вектора при переході через межу розподілу двох середовищ змінюється стрибком. Відношення нормальних складових векторів обернено пропорційне відношенню діелектричних проникностей середовищ.

Якщо провести аналогічний аналіз четвертого рівняння Максвелла, то можна отримати:

З а в ж д и ! .

Нормальна складова вектора завжди безперервна, вектор змінюється стрибком при переході з одного середовища в інше. Відношення нормальних складових векторів обернено пропорційне відношенню магнітних проникностей середовищ.

1.8 ГРАНИЧНІ УМОВИ ДЛЯ ТАНГЕНЦІАЛЬНИХ СКЛАДОВИХ ВЕКТОРІВ ЕМП

Нехай поверхня – є межею розподілу двох середовищ (рис.1.13.)

Рис. 1.13

На рис. 1.13 поверхня перпендикулярна до поверхні . На поверхні накреслим прямокутник АВСД такого малого розміру, що в його межах поле можна було вважати однорідним.

На рис. 1.13 маємо:

– нормаль до межі розподілу ;

– нормаль до поверхні ;

, тобто орт доповнює вектори і до правої трійки.

Застосуємо до контуру АВСД друге рівняння Максвелла і отримаємо граничні умови для тангенціальних складових вектора

.

Якщо провести аналогічний аналіз цього рівняння та інтеграл контуру представити у вигляді суми інтегралів по сторонах контура, то отримаємо:

де

.

За малих розмірів контуру поле в межах його однорідне. Тому справедливо записати

Врахуємо, що

, , ,

Отримаємо

При зменшенні отримаємо:

, , тому що .

Позначимо тангенціальні складові

,

граничні умови для тангенціальних складових вектора будуть становити:

, або

Висновок:

Тангенціальні складові вектора при переході через межу двож середовищ безперервні.

Враховуючи, що

, ,

граничні умови для тангенціальних складових вектора будуть становити

Тангенціальні складові вектора при переході через межу розподілу змінюються стрибком. Їх відношення пропорційне відношенню діелектричних проникностей середовищ.

Застосуємо для контуру АБСД перше рівняння Максвелла і отримаємо граничні умови для тангенціальних складових вектора .

;

, тобто

Якщо на межі розподілу середовищ (на поверхні ) є поверхневий струм, то права частина рівняння (*) буде дорівнювати

Тоді

Тангенціальна складова вектора при переході через межу розподілу змінюється стрибком, що дорівнює густині поверхневого струму.

Коли поверхневого струму нема, тоді тангенціальна складова вектора безперервна.

Фізичне пояснення зображено на рис. 1.14.

Враховуючи, що

,

Граничні умови тангенціальних складових вектора при умові будуть становити:

Рис.1.14

Тангенціальні складові вектора при переході через межу розподілу середовищ змінюється стрибком. Їх відношення прямо пропорційне відношенню магнітних проникностей середовищ.

1.9. ГРАНИЧНІ УМОВИ НА МЕЖІ З ІДЕАЛЬНИМ ПРОВІДНИКОМ.

З ідеальним провідником питома провідність

Тому

.

А це не має сенсу, тобто в ідеальному провіднику електричне поле існувати не може.

Не може існувати в ідеальному провіднику і магнітне поле тому, що воно за другим законом електродинаміки викличе появу електричного поля.

Таким чином, в ідеальному провіднику ЕМП існувати не може, тобто

, , , .

Тоді граничні умови на межі з ідеальним провідником становитимуть:

а) ; в) ;

б) ; г) .

З рівнянь а і б випливає, що нормальна складова вектора на поверхні ідеального провідника дорівнює густині заряду , а тангенціальна складова вектора дорівнює нулю .

Це означає, що силові лінії електричного поля підходять до поверхні ідеального провідника тільки перпендикулярно (рис.1.15).

Рис. 1.15

З рівнянь в і г випливає, що нормальна складова вектора дорівнює нулю , а тангенціальна складова вектора на поверхні ідеального провідника дорівнює густині поверхневого струму .

Це означає, що силові лінії магнітного поля підходять до поверхні ідеального провідника тільки паралельно. (рис. 1.16).

Рис. 1.16

Поняття «ідеальний провідник» є абстрактним. На межі з реальним провідником існують деякі тангенціальні складові електричного поля та нормальні складові магнітного поля, але вони будуть малими і в багатьох задачах їх можна не враховувати.