1.5.2. Друге рівняння максвелла

Другий закон ЕД описує процес збудження електричного поля і є узагальненням закону електромагнітної індукції Фарадея для будь якого середовища.

Фарадеєм було установлено, що в будь якому провідному контурі (рис.1.7) наводиться електрорушійна сила (ЕРС), коли цей контур перетинає, змінний за часом, магнітний потік:

(1.6)

де – поверхня що опирається на контур ;

«-» – пояснюється тим, що струм у контурі має такий напрям, що створене ним магнітне поле заважає зміні потоку .

Але за звичаєм

(1.7)

де – будь-який контур.

Це правило навело Максвелла на думку з’єднати вирази (1.6) та (1.7).

(1.8)

Формула (1.8) і є другим рівнянням Максвелла в інтегральній формі.

Рис.1.7

Формулюється другий закон електродинаміки так.

Циркуляція вектора напруженості електричного поля по будь якому замкнутому контуру дорівнює швидкості зміни потоку вектора магнітної індукції із знаком «мінус», який проходить через будь яку поверхню , що опирається на контур .

Фізичний зміст другого закону ЕД.

Електричне поле створюється магнітним полем, що змінюється за часом

Примітка.

Першим та другим рівнянням ЕД можна показати можливість існування ЕМП у діелектрику:

(1.9)

1.5.3 Трете рівняння максвелла

Третій закон ЕД є узагальненням закону Гауса на випадок змінних процесів.

Математичний запис його такий:

(1.10)

– об’ємна густина заряду.

Формулюється третій закон ЕД так.

Потік вектора електричної індукції через будь яку замкнену поверхню дорівнює сумарному вільному електричному заряду, що знаходиться в об’ємі , обмеженому поверхнею (рис.1.8).

Рис.1.8

Фізичний зміст третього закону ЕД.

Електричний заряд є джерелом електричного поля. Електричні силові лінії вектора починаються або закінчуються на зарядах або в нескінченності.

Якщо поверхня охоплює позитивний заряд і потік вектора буде позитивним, то силові лінії виходять із об’єму, обмеженого (рис.1.9).

Якщо поверхня охоплює негативний заряд і потік вектора буде негативним, то силові лінії входять в об’єм (рис.1.9).

Рис. 1.9

(1.11)

1.5.4.Четверте рівняння максвелла

Математичний опис четвертого закону такий.

Формулюється четвертий закон ЕД так.

Потік вектора магнітної індукції через будь яку замкнену поверхню дорівнює нулю.

Фізичний зміст четвертого закону такий.

В природі нема магнітних зарядів, силові лінії магнітного поля завжди замкнені (рис.1.10).

Рис.1.10

1.6. Рівняння емп в диференціальній формі

1.6.1. Чотири рівняння ЕД в диференційній формі

Іноді інтегральною формою рівнянь ЕД користуватися важко і треба застосовувати диференціальну форму.

Перехід від рівнянь ЕД в інтегральній формі до диференціальної здійснюється за допомогою теорем Стокса

(1.12)

та Остроградського-Гаусса:

(1.13)

Для отримання першого та другого рівнянь ЕД в диференціальній формі необхідно використати теорему Стокса:

(1.14)

(1.15)

Якщо у формулах (1.14), (1.15) рівні інтеграли по будь-якій поверхні , то рівні і їх підінтегральні функції.

Тому

(1.16)

(1.17)

Формули (1.16), (1.17) і є першим та другим рівнянням ЕД в диференційній формі.

Для отримання третього та четвертого рівнянь ЕД в диференціальній формі треба використати теорему Остроградського-Гаусса.

,
.

У цих формулах об’єм будь який, підінтегральні функції безперервні.

Тому

	(1.18)
.	(1.19)