6.3.2. Интервальная оценка параметров генеральной совокупности
Точечные оценки параметров распределения не дают информации о степени близости к соответствующему теоретическому параметру. Поэтому построение интервала, в котором с заданной степенью достоверности будет находится оцениваемый параметр, является более информативным способом оценивания неизвестных параметров.
Интервальная оценка − это числовой интервал, который определяется двумя числами – границами интервала, содержащий неизвестный параметр генеральной совокупности.
Доверительный интервал – это интервал, в котором с той или иной заранее заданной вероятностью находится неизвестный параметр генеральной совокупности.
Доверительна
вероятность
p–
это
такая вероятность, что событие вероятности
(1-p)можно
считать невозможным.
– это уровень значимости. (Обозначения
могут быть любыми, часто обозначают
наоборот). Обычно в качестве доверительных
вероятностей используют вероятности,
близкие к 1. Тогда событие, что интервал
накроет характеристику, будет практически
достоверным. Это
p
0,95, p
0,99,
p
0,999.
Эти вероятности признаны достаточными для уверенного суждения о генеральных параметрах на основании известных выборочных показателей. Обычно указывают 95% доверительный интервал.
Для
выборки малого объема
нормально распределенного количественного
признака 
доверительный интервал может иметь
вид:
где
– генеральное среднее;
– выборочное среднее;
– нормированный показатель распределения
Стьюдента c
степенями свободы, который определяется
вероятностью попадания генерального
параметра в данный интервал. Термин
«степени свободы» означает, что их можно
вычислить как объем выборки минус число
ограничивающих условий;
–
ошибка выборочной средней.
Для
интерпретации доверительного интервала
следует помнить, что ширина доверительного
интервала зависит от 
– ошибки выборочной средней, которая
в свою очередь зависит от объема выборки
и от изменчивости данных
.Если
выборка небольшая, то доверительный
интервал более широкий, чем в случае
выборки большого объема. Широкий
доверительный интервал указывает на
неточную оценку, а узкий – на точную
оценку.
Пример 6.9
Количественный
признак
генеральной совокупности распределен
нормально. По выборке объема
найдены выборочная средняя
и среднее квадратическое отклонение
.
Определить неизвестное математическое
ожидание при помощи доверительного
интервала при
Решение:
Найдем
t
из таблицы распределения Стьюдента при
уровне значимости
и числе степеней свободы ;
Запишем:
;
при
.
Пример 6.10
Имеется
выборка объема
– это значения систолического давления
у мужчин в начальной стадии шока.
С помощью пакета прикладных программ на ЭВМ провести статистическую обработку данных выборки и определить доверительный интервал для генеральной средней при
Решение:
Пусть
расчет на ЭВМ дал: выборочное среднее
;
По таблице распределения Стьюдента найдем:
.
;
.
Задачи для самостоятельной работы
7.
При исследовании частоты дыхания по
выборке объема были получены выборочная
средняя
и среднее квадратическое отклонение
.
Определить интервальную оценку
математического ожидания с вероятностью
.
8.
Найдите
доверительный интервал для оценки с
уровнем доверительной вероятности
неизвестного математического ожидания
нормального распределения признака –
диаметра эритроцита – генеральной
совокупности, если выборочная средняя
мкм,
исправленное
выборочное среднее квадратическое
отклонение
и объем выборки
.
9. Даны результаты измерения длины туловища 40 свиноматок (см.):
157 145 159 165 150 154 171 165
163 169 163 168 164 163 150 145
158 168 158 150 143 162 148 147
163 157 157 158 159 164 165 172
157 157 150 165 160 154 158 190
Составить интервальное распределение. Число частичных интервалов 5-9. По данным задачи найти: 1) выборочную среднюю, 2) выборочную дисперсию, 3) среднее квадратическое отклонение, 4) моду, 5) медиану, 6) коэффициент вариации, 7) оценку ошибки выборки.
10. В результате взвешивания отобранных наудачу 50 клубней картофеля получены следующие результаты:
93 209 135 216 206 80 197 134 145 183
251 53 142 120 177 159 111 185 200 191
96 206 138 213 209 77 200 131 148 180
253 50 145 117 180 156 113 181 203 188
152 150 110 118 140 81 120 135 220 144
Составить интервальное распределение. Число частичных интервалов 5-9. По данным задачи найти: 1) выборочную среднюю, 2) выборочную дисперсию, 3) среднее квадратичное отклонение, 4) моду, 5) медиану, 6) коэффициент вариации, 7) оценку ошибки выборки.
11. Группа из 50 коров обследована по числу отелов. Получены следующие данные (число отелов):
7 6 1 2 8 7 5 3 5 4
1 1 10 6 4 5 5 3 2 2
2 2 3 5 5 4 6 9 1 1
4 5 3 5 7 8 2 1 6 7
1 2 3 4 4 5 6 7 7 8
Составить интервальное распределение. Число частичных интервалов 5-9. По данным задачи найти: 1) выборочную среднюю, 2) выборочную дисперсию, 3) среднее квадратичное отклонение, 4) моду, 5) медиану, 6) коэффициент вариации, 7) оценку ошибки выборки.
12.
При уровне вероятности
требуется установить доверительный
интервал среднего значения содержания
белка в зернах пшеницы. На основе 100 проб
установлено, что выборочная средняя
и
.