2.8 Сила давления жидкости на плоские стенки

а) Стенка горизонтальная (дно сосуда)

Рисунок 17

Д авление жидкости р в каждой точке дна одно и то же, так как h = const. По основному уравнению гидростатики:

Р = Р_о + gh.

Тогда сила давления жидкости на дно:

F = РS = (Р_о + gh)S (26)

Точка приложения силы давления жидкости на стенку - точка Д - называется центром давления. В данном случае центр давления ввиду равномерности распределения давления на дно совпал с центром тяжести стенки – точкой С.

б ) Стенка наклонная (рисунок 18)

Так как в данном случае давление нарастает с глубиной, то центр давления находится ниже центра тяжести на величину эксцентриситета е.

Можно показать, что давление в центре тяжести смоченной поверхности стенки будет средним:

Р_С = Р_О + gh_C,

где – глубина погружения центра тяжести стенки под свободной поверхностью жидкости.

Тогда сила давления жидкости на стенку

F = p_CS = (р_О + gh_C)S (27)

Величина эксцентриситета е находится по формуле:

(28)

где I_ХО — момент инерции площади стенки S относительно оси, проходящей через её центр тяжести.

Глубина погружения центра давления (точки Д):

h_Д = h_C + е. (29)

Задача: Определить минимальную массу m груза, способного удержать прямоугольный щит размерами h=3 м, b =2 м в закрытом положении, при уровне воды в канале Н=5 м. Длина рычага, на котором укреплен груз, l=3 м. Щит может поворачиваться в подшипниках вокруг оси 0. Выше оси расположены неподвижные балки, концы которых заделаны в боковые стены канала.

Решение: Сила тяжести минимального груза G может быть найдена из уравнения моментов, составленного относительно оси0; М₀=0 или . Тогда , где

F = gh_CS – сила давления воды на щит;

DO=h_d-KO=h_d-(H-h) – плечо силы F.

Площадь щита S=bh=2·3=6 м².

Расстояние центра тяжести щита от свободной поверхности

Момент инерции щита относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести

Расстояние центра давления от свободной поверхности

Подставляя полученные значения в вышеприведенные формулы, получим:

Тогда

в) Гидростатический парадокс

Сравним несколько сосудов различной формы, имеющих равные площади S плоских круглых днищ (рисунок 19). Все сосуды заполнены одинаковой жидкостью до одинакового уровня Н.

Рисунок 19 — Давление жидкости на днище сосудов различной формы

Казалось бы, что сила давления жидкости на дно будет наибольшей в правом сосуде, а наименьшей — в левом.

Однако, гидростатическое давление на днище во всех трех со­судах равно F₁ = F₂ = F₃ = pgH = const.

В этом и заключается гидростатический парадокс: если разные по форме сосуды с одинаковой площадью дна заполнить одной и той же жидкостью на одинаковую высоту, то сила давления жидкости на дно будет во всех случаях одной и той же.

2.9 Закон Архимеда и его приложение

Более сложным является случай, когда плоская площадка произвольно ориентирована в жидкости. В этом случае, сила полного гидростатического давления на поверхность равна произведению полного гидростатического давления в центре тяжести рассматриваемой площадки и площади самой площадки.

Рассмотрим три циркулирующих тела весом G₁, G₂, G₃ и сечением S. Рассмотрим силы, действующие на эти тела со стороны жидкости. например, второе тело. Силы действующие на боковые поверхности уравновешиваются, а на нижнюю и верхнюю площадки действуют разные силы, равнодействующая которых:

,

где V – объем погруженного в жидкость тела.

Это уравнение известно как закон Архимеда: на всякое тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вверх и равная весу вытесненной им жидкости.

Сила P₂ называется архимедовой силой.

В зависимости от соотношения веса G тела и архимедовой силы Р₂ возможны три случая:

1) G > Р₂ — тело тонет;

2) G < Р₂ — тело всплывает и плавает на поверхности жидкости в частично погружен­ном состоянии;

3) G = Р₂ — тело плавает.

Тело, погруженное (полностью или частично) в жидкость, испытывает со стороны жидкости суммарное давление, направленное снизу вверх и равное весу жидкости в объеме погруженной части тела.

P_выт = ρ_жgV_погр

Для однородного тела плавающего на поверхности справедливо соотношение

где: V - объем плавающего тела; ρ_m - плотность тела.

Существующая теория плавающего тела довольно обширна, поэтому мы ограничимся рассмотрением лишь гидравлической сущности этой теории.

Способность плавающего тела, выведенного из состояния равновесия, вновь возвращаться в это состояние называется устойчивостью. Вес жидкости, взятой в объеме погруженной части судна называют водоизмещением, а точку приложения равнодействующей давления (т.е. центр давления) - центром водоизмещения. При нормальном положении судна центр тяжести С и центр водоизмещения d лежат на одной вертикальной прямой O'-O", представляющей ось симметрии судна и называемой осью плавания (рис.20).

Пусть под влиянием внешних сил судно наклонилось на некоторый угол α, часть судна KLM вышла из жидкости, а часть K'L'M', наоборот, погрузилось в нее. При этом получили новое положении центра водоизмещения d'. Приложим к точке d' подъемную силу R и линию ее действия продолжим до пересечения с осью симметрии O'-O". Полученная точка m называется метацентром, а отрезок mC = h называется метацентрической высотой. Будем считать h положительным, если точка m лежит выше точки C, и отрицательным - в противном случае.

Рис. 20. Поперечный профиль судна

Теперь рассмотрим условия равновесия судна:

1) если h > 0, то судно возвращается в первоначальное положение;

2) если h = 0, то это случай безразличного равновесия;

3) если h<0, то это случай неостойчивого равновесия, при котором продолжается дальнейшее опрокидывание судна.

Следовательно, чем ниже расположен центр тяжести и, чем больше метацентрическая высота, тем больше будет остойчивость судна.