Метод потенциалов

В теории линейного программирования доказывается, что любая транспортная задача имеет оптимальный план. Возникает вопрос: как проверить план на оптимальность и будет ли единственным оптимальный план?

Существует простая методика проверки планов на оптимальность. В основу ее положен метод потенциалов. Смысл его заключается в следующем. Каждому заводу поставщику присваивают некоторую величину которую называют потенциалом завода, а каждому строительному объекту – величину - потенциал строительного объекта. Эти величины связаны между собой соотношениями:

• для переменных заполненных клеток (базисных переменных) (5)

• для переменных незаполненных клеток (свободных переменных) (6)

Здесь - стоимость доставки единицы продукции от -го завода к - му строительному объекту заполненных клеток, - стоимость доставки для незаполненных клеток.

Алгоритм метода потенциалов

1. Устанавливают вид модели транспортной задачи (открытая или закрытая). При необходимости делают модель закрытой.

2. Определяют первый опорный план с учетом стоимости доставки продукции.

3. Проверяют опорный план на вырожденность. При необходимости вводят нулевые поставки.

4. Проверяют опорный план на оптимальность. Для чего определяют потенциалы поставщиков и потребителей по выражениям (5) для базисных переменных и анализируются неравенства (6) для свободных переменных:

   • если хотя бы одно из неравенств не выполняется, то план неоптимальный и для его улучшения изменяют значение свободной переменной невыполняемого неравенства;

   • если все неравенства выполняются и среди неравенств имеются равенства, то план оптимальный и не единственный.

Проверим алгоритм метода на примере 1. Исходная модель транспортной задачи является закрытой. В качестве первого опорного плана возьмем вариант 2 (таблица 5).

Вариант 2. Базисные переменные (заполненные клетки):

Количество заполненных клеток на единицу меньше суммы количества поставщиков и потребителей, т.е. опорный план невырожденный. Для нахождения значений потенциалов составляем систему равенств:

Так как равенств 6, а неизвестных 7, то система является неопределенной. Поэтому для определенности системы считаем значение одного из потенциалов известным, например, , тогда:

Составляем неравенства для незаполненных клеток и анализируем их

Одно из неравенств не выполняется, следовательно, план неоптимальный. Это неравенство соответствует переменной т.е. для улучшения плана необходимо эту переменную ввести в басис, присвоив ей некоторую величину Переход к новому базису осуществляется с помощью построения цикла и перераспределения перевозимой продукции. Строим цикл с вершинами в занятых клетках (1,1), (2,1), (2,3) и незанятой клетки (1,3), в которой не выполняются условия оптимальности. Для определения величины в незанятую клетку (1,3) поставим знак «+», а другие вершины цикла отметим чередованием знаков «-» и «+» (см. таблицу 5). Затем определяем где - количество продукции в клетках вершин цикла, отмеченных знаком «-»:

Так как суммы значений неизвестных по строкам и столбцам должны оставаться неизменными, то следует произвести балансовый перерасчет (см. таблицу 5). В итоге перерасчета приходим к варианту 1 (см. таблицу 4).

Выполним анализ варианта 3 (таблица 6).

Вариант 3. Базисные переменные:

Опорный план невырожденный. Составляем систему равенств, определяемых базисными переменными:

Так как равенств 6, а неизвестных 7, то полагаем , тогда:

Составляем неравенства для незаполненных клеток

Все неравенства выполняются и среди неравенств имеются равенства, следовательно, план оптимальный и не единственный. Равенства соответствуют переменным Изменяя значения этих переменных, можно получить новые оптимальные планы. Один из них приведен в таблице 4.