Краткие сведения из теории
Постановка общей задачи математического
программирования. Найти значения
переменных (параметров)
которые удовлетворяют
ограничениям (уравнениям или
неравенствам)
(1)
граничным условиям
(2)
и доставляют экстремум (max или min) целевой функции
(3)
где
– известные функции;
- заданные константы.
Значения
не связаны между собой.
Всякий
набор управляемых переменных
,
удовлетворяющий ограничениям и граничным
условиям, определяет допустимое решение
(допустимый план). Допустимое решение,
при котором достигается экстремум
целевой функции, называется оптимальным.
Если
ограничения (1) и целевая функция (3)
линейны, то такие задачи относятся к
задачам линейного программирования
(ЛП). Если по смыслу управляемые переменные
должны быть целыми числами, то имеем
задачу целочисленного линейного
программирования. Если хотя бы одно
ограничение или целевая функция содержат
или произведение управляемых переменных,
то имеем задачу нелинейного программирования.
Если целевая функция или ограничения
задаются функциями вида
то
имеем задачу геометрического
программирования. Если целевая функция
или ограничения зависят не только от
управляемых переменных, но и параметров,
то получаем задачу параметрического
программирования. При наличии в
математической модели элементов
случайности приходим к задаче
стохастического программирования. Если
целевая функция и (или) система ограничений
являются функциями времени или процесс
получения решения имеет многошаговой
характер, то имеем задачу динамического
программирования.
Математическая модель задачи оптимизации содержит три составляющие: целевую функцию, ограничения и граничные условия. Граничные условия показывают предельно допустимые значения управляемых переменных . Ограничения устанавливают зависимости между значениями управляемых переменных. Целевая функция показывает, в каком смысле решение должно быть наилучшим.
Чтобы задача имела оптимальное решение, она должна удовлетворять двум требованиям: должна быть реальная возможность иметь множество допустимых решений и должен быть принят критерий, показывающий в каком смысле принимаемое решение наилучшее.
Таким образом, для постановки задачи оптимизации необходимо:
определить цель оптимизации (целевую функцию, критерий);
выбрать параметры, наиболее существенно влияющие на критерий;
выразить критерий через управляемые параметры в такой математической форме, которая с одной стороны отражала бы более точно истинное влияние каждого параметра, а с другой, обеспечивала бы наибольшую простоту предстоящего процесса оптимизации;
математически выразить все ограничения и граничные условия.
Линейное
программирование наиболее полно
разработано к настоящему времени и
довольно просто для понимания. Слово
«программирование» означает, что набор
управляемых переменных
обычно составляет программу (план)
работы конкретного предприятия.
Эффективным методом решения задач линейного программирования является симплекс-метод, разработанный Дж. Данцигом. Основная идея метода состоит в направленном переборе некоторых вариантов решений, называемых допустимыми планами, с целью последующего их улучшения и получения оптимального плана. Число управляемых переменных характеризует размерность и сложность задачи оптимизации.