Індивідуальне завдання з вищої математики: Семестр 1

Завдання для кожного варіанту за темами

І. Лінійна алгебра

1. Обчислити визначник четвертого порядку двома способами:

а) розвиненням за будь-яким рядком або стовпчиком;

б) перетворенням визначника таким чином, щоб три елемента деякого рядка або стовпчика дорівнювали нулю, а потім розвиненням за цим рядком, або стовпчиком.

2. Для наданих матриць обчислити

а)

б)

в) .

якщо Е – одинична матриця.

3. Розв‘язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

а) методом Крамера;

б) методом Гауса;

в) методом оберненої матриці.

4. Розв‘язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Жордана-Гауса. Вказати скільки розв‘язків має система.

5. Для наданих у просторі точок , , , виконати:

знайти координати та модулі векторів ;

b) знайти одиничний вектор, що є ортом вектора ;

в) знайти внутрішні кути трикутника, що побудовано на векторах і ;

г) знайти площу трикутника, що побудовано на векторах і ;

д) знайти об‘єм піраміди, що побудовано на векторах , і ;

є) визначити чи є вектори , и колінеарними, перпендикулярними, компланарними.

Іі. Аналітична геометрія

6. Для наданих у просторі точок виконати:

скласти рівняння площини що проходить через точку , та є перпендикулярною вектору ;

b) скласти рівняння площини , що проходить через точки ;

в) визначити кут між площинами та .

7. Для наданих у просторі точок виконати:

скласти рівняння прямої , що проходить через точки ;

b) скласти рівняння прямої , що проходить через точки ;

в) Обчислити кут між прямими і .

8. Для наданих у просторі точок виконати:

скласти параметричні рівняння прямої , що проходить через точку

та є перпендикулярною до площини з завдання 6;

б) визначити координати точки перетину прямої з площиною .

9. Для наданих на площині точок виконати:

скласти рівняння медіани трикутника , що проведена до сторони ;

б) скласти рівняння висоти, що проведена з вершини , та визначити її довжину.

10. Рівняння , де - координати точки з завдання 9, є рівнянням кривої другого порядку. Виконати:

привести надане рівняння кривої другого порядку до канонічного вигляду;

б) визначити тип кривої другого порядку, знайти координати вершин та фокусів, ексцентриситет кривої.

в) зобразити криву другого порядку схематично на малюнку.

Ііі. Теорія границь, неперервність функції

11. Обчислити границі.

12. Розкрити невизначеності, не використовуючи правило Лопіталя.

13. Обчислити за допомогою I стандартної границі.

14. Обчислити за допомогою II стандартної границі.

15. Дослідити функцію на неперервність в точках і . Побудувати графік функції. Іv. Диференціювання функції

16. Скласти рівняння дотичної та нормалі до графіка функції в точці .

17. Знайти першу похідну для функцій, що надані.

18. Обчислити диференціал першого порядку для функцій, що надані.

19. Знайти другу похідну для функції і обчислити її значення в точці що надана.

20. Провести повне дослідження функції , а саме:

знайти область визначення функції;

b) дослідити функцію на непевність;

в) дослідити функцію не наявність асимптот;

г) дослідити функцію на екстремуми;

д) дослідити функцію на опуклість, угнутість, наявність точок перегину;

є) знайти точки перетину графіка функції з координатними вісями;

ж) скласти таблицю поведінки функції;

з) побудувати ескіз графіка функції.