2. Розкладання вектора за базисом.

Означення 7. Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається базисом у множині всіх геометричних векторів V³ .

Теорема 1

Усякий геометричний вектор може бути представлений у вигляді , тобто розкладений за базисом Тут числа, що називаються координатами вектора у базисі . Коротко .

Означення 8. Базис називається прямокутним або ортонормованим, якщо попарно перпендикулярні та мають одиничну довжину. У цьому випадку прийнято позначення

Означення 9. Проекцією вектора на вектор називається число Якщо x, y, z – координати вектора у прямокутному базисі, то вони співпадають з проекціями вектора на базисні орти відповідно: .

Теорема 2

Довжина вектора обчислюється за формулою: де х, у, z – прямокутні координати вектора .

Означення 10. Ортом вектора називається вектор , де .

Означення 11. Напрямними косинусами вектора називаються числа

Приклад 1

Задано точки Знайти вектор = його довжину та напрямні косинуси, орт .

Розв’язання

1. = ( 6-3; 8-4; 0-12) = ( 3; 4; - 12);

2.

3.

4. =

Приклад 2

Розкласти вектор за базисом

Розв’язання

1. Знайдемо коефіцієнти розкладу

Підставимо координати векторів у цю рівність: .

Звідси одержуємо таку систему рівнянь:

2. Розв’язавши систему лінійних рівнянь, знайдемо:

3. Таким чином, шуканий розклад має такий вигляд:

3. Простір арифметичних векторів.

Означення 12. Арифметичним вектором називається будь-яка упорядкована сукупність з n дійсних чисел. Позначається символом

Над арифметичними векторами вводяться операції додавання та множення на число (скаляр):

Додавання. Якщо

Множення на скаляр. Якщо – скаляр ( число ) і – арифметичний вектор, то

Означення 13. Множина всіх дійсних арифметичних n–компонентних векторів з введеними операціями додавання та множення на скаляр називається простором арифметичних векторів. Позначається , число n називається вимірністю простору.

Приклад 3

Дано вектори Знайти вектори

Розв’язання

1.

2.

Означення 14. Система векторів називається лінійно незалежною, якщо рівність виконується тоді, коли

Означення 15. Лінійно незалежна система векторів називається базисом в .

Теорема 3

Будь-який вектор представляється у вигляді де – координати вектора у базисі .

Система векторів утворює канонічний базис.

4. Декартова прямокутна система координат.

Означення 16. Кажуть, що у тривимірному просторі введена декартова прямокутна система координат, якщо задано:

1. Точка О – початок координат;

2. Прямокутний базис у множині усіх геометричних векторів.

Позначення:

Означення 17. Осі Ox, Oy i Oz, що проведені через точку О у напрямку базисних ортів , називаються координатними осями систем координат.

Вектор називають радіусом-вектором точки М(x, y, z) і позначають або просто . Оскільки координати вектора співпадають с координатами точки М, то розклад за ортами має вигляд:

Вектор , де , може бути записаний у вигляді: , де – радіус-вектор точки В, - радіус-вектор точки А.

Отже, розклад вектора за ортами має вигляд:

Теорема 4

Відстань між точками А та В обчислюється за формулою: