Приклад 11

Розв’язати систему рівнянь:

1. Обчислюємо визначник системи:

= =1(4+10)–2(8+8)+3(10–4)=14–32+18=0.

Матриця системи особлива, тому розв’язати за формулами Крамера не можна. Використаємо метод Гаусса.

Запишемо розширену матрицю системи і виконаємо елементарні перетворення:

.

Як бачимо, ранг розширеної матриці дорівнює рангу основної матриці (r=2), тому за теоремою Кронекера-Капеллі система сумісна, але має нескінченне число розв’язків.

Виберемо базисний мінор M= = –3 0. Базисні невідомі: х₁, х₂. Вільні невідомі: х₃.

Дана система рівносильна такій:

Позначимо вільну невідому х₃= с(с R), тоді розв’язок запишеться так:

Частинний розв’язок одержимо, якщо с = 1

Приклад 11

Розв’язати систему рівнянь:

1. Запишемо розширену матрицю і виконаємо елементарні перетворення Гаусса.

Як бачимо, ранг матриці дорівнює рангу розширеної матриці r(A)=r( )=2, тому за теоремою Кронекера-Капеллі система сумісна.

2. Виберемо базисний мінор М= . Базисні невідомі: х₁,х₂ , вільні невідомі: х_3, х₄, х_5.

3. Знайдемо базисні невідомі:

Нехай х₃=с₁, х₄=с₂, х₅=с₃ (с₁,с₂, с₃ – дійсні числа). Розв’язок системи:

9. Метод Гаусса-Жордана розв’язання систем лінійних рівнянь.

Нехай задано систему m лінійних рівнянь з n невідомими

Нехай у системі а_ij 0. Називатимемо його розв’язувальним елементом.

1. Усі елементи розв’язувального рядка ділимо на розв’язувальний елемент а_ij і результат записуємо в i-ий рядок нової матриці.

2. Усі елементи розв’язувального стовпця, крім а_{ij ,} замінюємо нулями.

3. Решту елементів матриці обчислити за формулами:

Елементи зручно обчислювати за правилом прямокутника. Розглянемо прямокутник, одна з вершин якого лежить в елементі, на місці якого обчислюється новий, а протилежна – в розв’язувальному елементі; дві інші вершини лежать відповідно: одна в розв’язувальному рядку, а друга – в розв’язувальному стовпці.

Елемент дорівнює добутку розв’язувального елемента на протилежний йому мінус добуток двох інших елементів і весь цей вираз ділиться на розв’язувальний елемент .

Зауваження:

1. Як розв’язувальний елемент зручно брати елемент, що дорівнює 1.

2. Якщо а_ir =0, то r-й стовпець у нову матрицю записують без змін.

3. Якщо а_kj = 0, то k-й рядок матриці записується без змін у k-й рядок нової матриці.

Приклад 12

Розв’язати систему методом Гаусса-Жордана

Перетворення системи по методу Гаусса-Жордана запишемо в таблицях, виділивши на кожному кроці розв’язувальний елемент.

З останньої таблиці записуємо розв’язок системи:

10. Застосування систем алгебраїчних лінійних рівнянь до аналізу моделі Леонтьєва багатогалузевої економіки.

Розглядається n галузей промисловості, кожна з яких виробляє свою продукцію, частина якої використовується для внутрішніх потреб, а частина для суспільних потреб ( поза матеріальним виробництвом). Процес виробництва розглядається протягом деякого часу (наприклад, року).

Позначимо:

х_i – валовий об’єм продукції i-ої галузі ;

х_ij – об’єм продукції i-ої галузі, що використовується в j-ій галузі в процесі виробництва ;

y_i – об’єм кінцевого продукту i-ої галузі для невиробничого споживання;

Співвідношення балансу – це рівняння

Коефіцієнти прямих затрат а_ij = показують затрати продукції i-ої галузі на виробництво одиниці продукції j-ої галузі. Вважають, що коефіцієнти – сталі числа на деякому проміжку часу. Це означає лінійну залежність матеріальних затрат від валового випуску, тобто, . Співвідношення балансу мають такий вигляд:

Це рівняння можна записати в матричному вигляді:

Х= АХ + Y (*), де А= , Х= , Y=

Основна задача міжгалузевого балансу полягає в тому, щоб знайти вектор валового виробництва Х, який при відомій матриці прямих затрат А забезпечує заданий вектор кінцевого продукту Y.

Рівняння (*) можна розв’язати: Х= (Е–А)^-1 Y , матриця S= (E–

–A)^-1 називається матрицею повних затрат. Матриця А називається продуктивною, якщо для будь-якого вектора Y існує розв’язок Х рівняння (*). У цьому випадку модель Леонтьєва називається продуктивною.