Означення 14

Квадратна матриця С порядку n називається оберненою до матриці А, якщо АС=СА=Е, де Е – одинична матриця n-го порядку. Матриця, обернена до матриці А позначається через А^-1. Квадратна матриця А порядку n називається особливою, якщо її детермінант дорівнює нулю. Якщо 0, то А називається неособливою.

Теорема 3

Особливі матриці обернених не мають. Кожна неособлива матриця має обернену матрицю, що обчислюється за формулою:

А^-1 = , де А_ij –

алгебраїчне доповнення елемента а_ij матриці А.

Приклад 7

Для даної матриці А= знайти обернену і виконати перевірку.

1. Обчислимо визначник даної матриці.

= =2 - 3 + 5 = 2(5–9) –3(20– –9)+5(12–3)=–8–33+45=4, як бачимо , тому існує обернена матриця.

2. Знайдемо алгебраїчні доповнення елементів даної матриці.

А₁₁= (–1)¹⁺¹ = 5–9 = –4.

А₁₂= (–1)¹⁺² = – (20–9) = –11.

А₁₃= (–1)⁴ =12–3 =9.

А₂₁= (–1)³ = – (15–15) =0.

А₂₂ = (–1)⁴ = (10–15) =–5.

А₂₃ = (–1)⁵ = – (6–9) =3.

А₃₁ = (–1)⁴ = 4.

А₃₂ = – (–14) =14.

А₃₃ = –10.

3. Запишемо обернену матрицю за формулою:

А^-1 =

4. Перевірка. А^-1∙А = =

= = = = = Е.

5. Системи алгебраїчних лінійних рівнянь. Матричний спосіб розв’язання систем.

У загальному випадку система лінійних рівнянь має вигляд:

Тут х₁,х₂ , ...х_n – невідомі, які треба знайти; а_ij – сталі числа , їх називають коефіцієнтами системи; b₁, b₂ , …b_m – сталі числа, їх називають вільними членами. Розв’язком системи називають будь-яку сукупність чисел с₁, с_{2 ,} ... с_n , яка при підстановці замість невідомих перетворює всі рівняння системи в тотожності. Систему називають сумісною, якщо вона має принаймні один розв’язок, і несумісною, коли не має розв’язків. Систему n лінійних рівнянь з n невідомими можна записати в матричному вигляді. Якщо

А= , Х= , В= , то A∙Х=В

Знайдемо Х, для цього обидві частини матричного рівняння помножимо на матрицю А^-1: А^-1АХ=А^-1В, одержимо Х = А^-1В.

Приклад 8

Розв’язати систему лінійних рівнянь:

1. Матриця системи, матриця вільних членів мають вигляд:

А= , В=

2. Знайдемо обернену матрицю А^-1 за формулою

А^-1= , обчисливши визначник та алгебраїчні доповнення елементів матриці.

= 1(4–0 ) –1(8–3)+2(0–1)= 4–5–2= –3

А^-1= Х= А^-1.В= – =

= = = .

Отже,

6. Розв’язання систем лінійних рівнянь за допомогою формул Крамера.

Для систем двох рівнянь з двома невідомими.

+

Звідки одержуємо х₁(a₁₁а₂₂-а₁₂а₂₁) = b₁a₂₂-b₂a_{12 ,} або

Якщо використати формулу обчислення визначників другого порядку, то розв’язок можна записати так:

Для систем порядку вище другого формули аналогічні.

Теорема № 4 (Правило Крамера)

Якщо визначник системи n лінійних рівнянь з n невідомими не дорівнює нулю, то система має єдиний розв’язок, що визначається за формулами х_i^{= , ,} де знаменником є визначник системи, а чисельник - визначник, утворений з визначника системи в результаті заміни i-го стовпця з коефіцієнтів при шуканому невідомому х_i стовпцем з вільних членів.

Приклад 9

Розв’язати систему рівнянь:

1. Обчислимо головний визначник:

= = (4-0)-(8-3)+2(0-1)= 4-5-2= -3

2. Обчислимо визначники:

х₁= = 7(4-0)-(40-18)+2(0-6)= 28-22-12= -6

х₂= = (40-18)-7(8-3)+2(12-10)= -9

х₃= = (6-110)-(12-10)+7(0-1)= -3

3. Запишемо розв’язок за формулами Крамера:

х₁= = 2 х₂= = 3 х₃= = 1

Відповідь. (2;3;1)

7. Метод Гаусса розв’язання систем лінійних рівнянь.

Означення 14

Під елементарними перетвореннями системи лінійних рівнянь розуміють такі операції:

1. заміна нумерації невідомих системи;

2. перестановка місцями рівнянь системи;

3. додавання до одного рівняння іншого, помноженого на довільне число.

Означення 15

Дві сумісні системи називаються рівносильними, якщо всі розв’язки першої системи є також розв’язками другої і, навпаки, всі розв’язки другої системи є розв’язками першої. Якщо обидві системи не сумісні, вони також називаються рівносильними.

Теорема 5

Внаслідок елементарних перетворень система рівнянь переходить у рівносильну систему рівнянь (з урахуванням зміни нумерації невідомих).

Метод Гаусса полягає в послідовному виключенні невідомих за допомогою елементарних перетворень системи.

Розглянемо перше рівняння системи. Нехай а₁₁ 0. Поділимо обидві частини першого рівняння на а₁₁. До другого рівняння додамо перше, помножене на (-а₂₁) , одержимо друге рівняння, в якому виключено невідоме х₁. Аналогічно за допомогою першого рівняння з кожного наступного виключимо невідоме х₁.

Розглянемо друге рівняння. Якщо в ньому усі коефіцієнти при невідомих і вільний член дорівнюють нулю, то переставляємо це рівняння на останнє місце. Якщо усі коефіцієнти при невідомих дорівнюють нулю, а вільний член не дорівнює нулю, то система розв’язків не має. Нехай у другому рівнянні коефіцієнт при х₂ не дорівнює нулю . Поділимо обидві частини другого рівняння на , До третього і кожного наступного додамо друге рівняння, помножене на коефіцієнт при х₂ у кожному з цих рівнянь. В результаті всі рівняння, починаючи з третього не будуть містити невідоме х₂. Продовжуючи такі дії з кожним із рівнянь у випадку квадратної системи (число рівнянь дорівнює числу невідомих) одержимо систему в такому вигляді:

З цієї системи можна знайти всі невідомі х_i , тобто - розв’язок системи .

Розв’язуючи систему методом Гаусса, зручно записувати тільки розширену матрицю системи і виконувати елементарні перетворення, що приведуть матрицю до трапецієподібного вигляду.

Означення 16

Розширеною матрицею системи називають матрицю, в якій до основної матриці системи приєднали стовпець вільних членів, тобто

=

Приклад 10

Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь:

1. Запишемо розширену матрицю, виконаємо елементарні перетворення за алгоритмом Гаусса:

=

.

2. Таким чином, одержали систему, рівносильну даній:

3. З цієї системи знаходимо розв’язок системи:

Відповідь. (3, 2, 0)

8. Розв’язування довільних систем лінійних рівнянь. Теорема Кронекера-Капеллі.

Якщо система лінійних рівнянь з n невідомими містить m рівнянь, то методом Гаусса розширена матриця системи буде приведена до трапецієподібного вигляду:

Сумісність цієї системи визначається теоремою Кронекера-Капеллі.

Теорема 6 (Кронекера-Капеллі)

Для того, щоб система була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг її розширеної матриці дорівнював рангу основної.

Нехай система сумісна. Ранг розширеної матриці дорівнює . Виберемо мінор порядку , виділимо з системи систему рівнянь, серед коефіцієнтів яких містяться елементи базисного мінору. В лівих частинах рівнянь цієї системи залишимо такі невідомих, коефіцієнти при яких є елементами базисного мінору. Ці невідомі називаються базисними. Решту невідомих (n– ) перенесемо до правої частини, назвемо їх вільними невідомими. Розв’язуємо систему відносно базисних невідомих. Якщо х₁,х₂,... х_l – базисні невідомі, а х_l+1, х_l+2,...х_n – вільні, то система запишеться у вигляді:

, який називається розв’язком системи.