
- •Інститут економіки та нових технологій Кафедра прикладної математики та математичного моделювання
- •Наклад 26 примірників Передмова
- •І. Основні питання, що вивчаються в розділі „Елементи лінійної алгебри”.
- •1. Матриці. Лінійні операції над матрицями. Добуток матриць.
- •3. Обчислення визначників.
- •Теорема 2
- •Приклад 6
- •Означення 14
- •Теорема 3
- •Приклад 7
- •5. Системи алгебраїчних лінійних рівнянь. Матричний спосіб розв’язання систем.
- •Приклад 11
- •Приклад 11
- •9. Метод Гаусса-Жордана розв’язання систем лінійних рівнянь.
- •Приклад 12
- •10. Застосування систем алгебраїчних лінійних рівнянь до аналізу моделі Леонтьєва багатогалузевої економіки.
- •III. Завдання для самостійної роботи.
- •IV. Завдання для контрольної роботи. Завдання 1
- •Завдання 2
- •V. Список використаної і рекомендованої літератури.
Означення 14
Квадратна
матриця С
порядку n
називається оберненою до матриці А,
якщо АС=СА=Е,
де
Е –
одинична матриця n-го
порядку. Матриця, обернена до матриці
А
позначається через А-1.
Квадратна матриця А
порядку n
називається
особливою, якщо її детермінант дорівнює
нулю. Якщо
0,
то А
називається неособливою.
Теорема 3
Особливі матриці обернених не мають. Кожна неособлива матриця має обернену матрицю, що обчислюється за формулою:
А-1
=
,
де Аij
–
алгебраїчне доповнення елемента аij матриці А.
Приклад 7
Для
даної матриці А=
знайти обернену і виконати перевірку.
1. Обчислимо визначник даної матриці.
=
=2
-
3
+
5
=
2(5–9) –3(20– –9)+5(12–3)=–8–33+45=4, як
бачимо
,
тому існує обернена матриця.
2. Знайдемо алгебраїчні доповнення елементів даної матриці.
А11= (–1)1+1 = 5–9 = –4.
А12= (–1)1+2 = – (20–9) = –11.
А13= (–1)4 =12–3 =9.
А21=
(–1)3
= – (15–15) =0.
А22
= (–1)4
=
(10–15) =–5.
А23
= (–1)5
=
– (6–9) =3.
А31
= (–1)4
=
4.
А32 = – (–14) =14.
А33 = –10.
3. Запишемо обернену матрицю за формулою:
А-1
=
4. Перевірка. А-1∙А = =
=
=
=
=
=
Е.
5. Системи алгебраїчних лінійних рівнянь. Матричний спосіб розв’язання систем.
У загальному випадку система лінійних рівнянь має вигляд:
Тут
х1,х2
, ...хn
– невідомі, які треба знайти; аij
– сталі числа
,
їх називають коефіцієнтами системи;
b1,
b2
, …bm
– сталі числа, їх називають вільними
членами. Розв’язком системи називають
будь-яку сукупність чисел с1,
с2
, ...
сn
,
яка при підстановці замість невідомих
перетворює всі рівняння системи в
тотожності. Систему називають сумісною,
якщо вона має принаймні один розв’язок,
і несумісною, коли не має розв’язків.
Систему n лінійних рівнянь з n невідомими
можна записати в матричному вигляді.
Якщо
А=
,
Х=
,
В=
,
то A∙Х=В
Знайдемо Х, для цього обидві частини матричного рівняння помножимо на матрицю А-1: А-1АХ=А-1В, одержимо Х = А-1В.
Приклад 8
Розв’язати
систему лінійних рівнянь:
1. Матриця системи, матриця вільних членів мають вигляд:
А=
,
В=
2. Знайдемо обернену матрицю А-1 за формулою
А-1=
,
обчисливши визначник та алгебраїчні
доповнення елементів матриці.
= 1(4–0 ) –1(8–3)+2(0–1)= 4–5–2= –3
А-1=
Х=
А-1.В=
–
=
=
=
=
.
Отже,
6. Розв’язання систем лінійних рівнянь за допомогою формул Крамера.
Для систем двох рівнянь з двома невідомими.
+
Звідки одержуємо х1(a11а22-а12а21) = b1a22-b2a12 , або
Якщо використати формулу обчислення визначників другого порядку, то розв’язок можна записати так:
Для систем порядку вище другого формули аналогічні.
Теорема № 4 (Правило Крамера)
Якщо
визначник
системи n
лінійних рівнянь з n
невідомими не дорівнює нулю, то система
має єдиний розв’язок, що визначається
за формулами хi=
,
,
де
знаменником є визначник системи, а
чисельник
-
визначник, утворений з визначника
системи в результаті заміни i-го
стовпця з коефіцієнтів при шуканому
невідомому хi
стовпцем з вільних членів.
Приклад 9
Розв’язати
систему рівнянь:
1. Обчислимо головний визначник:
=
=
(4-0)-(8-3)+2(0-1)= 4-5-2= -3
2. Обчислимо визначники:
х1=
=
7(4-0)-(40-18)+2(0-6)= 28-22-12= -6
х2=
=
(40-18)-7(8-3)+2(12-10)= -9
х3=
=
(6-110)-(12-10)+7(0-1)= -3
3. Запишемо розв’язок за формулами Крамера:
х1=
=
2 х2=
=
3 х3=
=
1
Відповідь. (2;3;1)
7. Метод Гаусса розв’язання систем лінійних рівнянь.
Означення 14
Під елементарними перетвореннями системи лінійних рівнянь розуміють такі операції:
1. заміна нумерації невідомих системи;
2. перестановка місцями рівнянь системи;
3. додавання до одного рівняння іншого, помноженого на довільне число.
Означення 15
Дві сумісні системи називаються рівносильними, якщо всі розв’язки першої системи є також розв’язками другої і, навпаки, всі розв’язки другої системи є розв’язками першої. Якщо обидві системи не сумісні, вони також називаються рівносильними.
Теорема 5
Внаслідок елементарних перетворень система рівнянь переходить у рівносильну систему рівнянь (з урахуванням зміни нумерації невідомих).
Метод Гаусса полягає в послідовному виключенні невідомих за допомогою елементарних перетворень системи.
Розглянемо перше рівняння системи. Нехай а11 0. Поділимо обидві частини першого рівняння на а11. До другого рівняння додамо перше, помножене на (-а21) , одержимо друге рівняння, в якому виключено невідоме х1. Аналогічно за допомогою першого рівняння з кожного наступного виключимо невідоме х1.
Розглянемо
друге рівняння. Якщо в ньому усі
коефіцієнти при невідомих і вільний
член дорівнюють нулю, то переставляємо
це рівняння на останнє місце. Якщо усі
коефіцієнти при невідомих дорівнюють
нулю, а вільний член не дорівнює нулю,
то система розв’язків не має. Нехай у
другому рівнянні коефіцієнт при х2
не дорівнює нулю
.
Поділимо обидві частини другого рівняння
на
,
До третього і кожного наступного додамо
друге рівняння, помножене на коефіцієнт
при х2
у кожному з цих рівнянь. В результаті
всі рівняння, починаючи з третього не
будуть містити невідоме х2.
Продовжуючи такі дії з кожним із рівнянь
у випадку квадратної системи (число
рівнянь дорівнює числу невідомих)
одержимо систему в такому вигляді:
З цієї системи можна знайти всі невідомі хi , тобто - розв’язок системи .
Розв’язуючи систему методом Гаусса, зручно записувати тільки розширену матрицю системи і виконувати елементарні перетворення, що приведуть матрицю до трапецієподібного вигляду.
Означення 16
Розширеною матрицею системи називають матрицю, в якій до основної матриці системи приєднали стовпець вільних членів, тобто
=
Приклад 10
Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь:
1. Запишемо розширену матрицю, виконаємо елементарні перетворення за алгоритмом Гаусса:
=
.
2. Таким чином, одержали систему, рівносильну даній:
3.
З цієї системи знаходимо розв’язок
системи:
Відповідь. (3, 2, 0)
8. Розв’язування довільних систем лінійних рівнянь. Теорема Кронекера-Капеллі.
Якщо система лінійних рівнянь з n невідомими містить m рівнянь, то методом Гаусса розширена матриця системи буде приведена до трапецієподібного вигляду:
Сумісність цієї системи визначається теоремою Кронекера-Капеллі.
Теорема 6 (Кронекера-Капеллі)
Для того, щоб система була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг її розширеної матриці дорівнював рангу основної.
Нехай
система сумісна. Ранг розширеної матриці
дорівнює
.
Виберемо мінор порядку
,
виділимо з системи систему
рівнянь, серед коефіцієнтів яких
містяться елементи базисного мінору.
В лівих частинах рівнянь цієї системи
залишимо такі
невідомих, коефіцієнти при яких є
елементами базисного мінору. Ці невідомі
називаються базисними. Решту невідомих
(n–
)
перенесемо до правої частини, назвемо
їх вільними невідомими. Розв’язуємо
систему відносно базисних невідомих.
Якщо х1,х2,...
хl
– базисні невідомі, а хl+1,
хl+2,...хn
– вільні, то система запишеться у
вигляді:
,
який називається розв’язком системи.