4. Системы счисления с иррациональными основаниями
Система счисления Бергмана
В
1957 г. американский математик Джордж
Бергман опубликовал статью «A number system
with an irrational base». В этой статье автор
предложил весьма необычное расширение
понятия позиционной системы счисления.
Он предложил использовать в качестве
основания системы счисления знаменитая
золотая пропорция
=
,
которая обладает весьма любопытными
математическими свойствами. В частности,
если золотую пропорцию возвести в n-ю
степень, то есть получить число
n,
то она может быть выражена в виде суммы
двух предыдущих степеней, то есть,
n = n-1 + n-2,
где степень n принимает значение из множества целых чисел {0, ±1, ±2, ±3, …}. Если теперь использовать последовательность чисел n {n=0, ±1, ±2, ±3, …} в качестве «весов разрядов» некоторой двоичной системы счисления, использующей двоичные цифры 0 и 1, то мы получим «двоичную» систему счисления с иррациональным основанием = , которая имеет следующее математическое выражение:
где А – произвольное действительное число, ai – двоичные цифры, 0 или 1, i = 0, 1, 2, 3 …, i – вес i-й цифры в системе счисления Бергмана, — основание системы счисления.
На первый взгляд кажется, что «система Бергмана» не представляет собой ничего особенного по сравнению с традиционным позиционным представлением, но это далеко не так. Вся суть состоит именно в том, что основанием системы счисления является золотая пропорция = , что порождает ряд весьма интересных математических свойств данной системы. Система счисления Бергмана является «избыточной», что может быть эффективно использовано для ряда практических приложений (контроль арифметических операций, коррекция ошибок в аналого-цифровых преобразователях, самосинхронизация кодовых последовательностей при передаче по каналу связи и др.).
Американский математик Джордж Бергман
Любопытно отметить, что к своему математическому открытию Джордж Бергман пришел в весьма юном возрасте, когда ему было всего лишь 12 лет! Несмотря на молодость автора, его статья была опубликована в весьма престижном американском математическом журнале «Mathematics Magazine» и по этому поводу широко известный публицистический журнал «Times» даже взял интервью у юного математического дарования Америки. В настоящее время Джордж Бергман работает профессором кафедры математики University of California (USA). Он является соавтором двух математических книг «An Invitation to General Algebra and Universal Constructions» (1998) и «Co-groups and Co-rings in Categories of Associative Rings» (1996), а также автором многих статей в области дискретной математики. Сейчас трудно сказать: имеют ли математические работы Бергмана большее значение, чем его оригинальная система счисления, которую он изобрел в юном возрасте. Несомненно одно. Имя американского математика Джорджа Бергмана широко известно в современной науке прежде всего благодаря его уникальной системе позиционного представления чисел.
Коды Золотой Пропорции
Свое дальнейшее развитие система счисления Бергмана получила в книге автора «Коды Золотой Пропорции», опубликованной издательством «Радио и связь» (Москва) в 1984 г. В книге была исследованы системы счисления следующего вида:
,
где A – некоторое действительное число, р — золотая р-пропорция, которая является основанием новой системы счисления, ai – двоичная цифра i-го разряда, i = 0, 1, 2, 3, …, р – заданное целое число, которое может принмать значение 0, 1, 2, 3,....
Более подробно с понятием «золотой р-пропорции» можно познакомиться в статье автора «Сакральная Геометрия и Математика Гармонии», выставленной на сайте «Академия Тринитаризма» http://trinitas.ru/rus/doc/0202/010a/02020028.htm
Эта формула задает новый класс позиционных представлений чисел, названных автором «Кодами Золотой Пропорции». Заметим, что приведенная выше формула задает бесконечное число новых двоичных представлений действительных чисел, так как каждому р соответствует свое двоичное представление. В частности, при р=0 «код золотой пропорции» сводится к классическому двоичному представлению, лежащему в основе современных компьютеров, а при р=1 – к системе счисления Бергмана. Заметим также, что, за исключением случая р=0 (классическая двоичная система счисления), все остальные системы счисления этого типа являются системами счисления с иррациональными основаниями. Это порождает некоторые необычные математические свойства «кодов золотой пропорции» и системы счисления Бергмана. Например, доказано, что представление натуральных чисел в любом «коде золотой пропорции» и системе Бергмана всегда является конечным, то есть любое натуральное число всегда представляется в виде конечной суммы степеней золотой р-пропорции! Например, для случая р=1 (система счисления Бергмана) имеют место следующие представления для начального отрезка натуральных чисел:
1 = 1,0; 2 = 10,01; 3 = 100,01; 4 = 101,01; 5 = 1000,1001; 6 = 1010,0001; 7 = 10000,0001
и т.д.
Все эти двоичные коды представляют собой ни что иное, как сокращенные изображения некоторых сумм степеней «золотой пропорции». Например, кодовое представление числа 5 = 1000,1001 в системе счисления Бергмана представляет собой ни что иное, как сокращенное изображение следующей суммы:
5 = 1000,1001 = 3 + -1 + -4.
Книга «Коды Золотой Пропорции» стала стала своебразным научным бестселлером советской науки, тираж в 10 000 экземпляров разошелся в течении одной недели (!), а знаменитый научно-популярный журнал «Техника – Молодежи» посвятил этой книге один из своих номеров (№7, 1985 г.). в котором опубликовал статью автора «Коды Золотой Пропорции, или Системы счисления для ЭВМ будущего?», и при этом разместил весьма красочную информацию об этой книге на задней обложке номера.
|
|
|
