1

Лабораторная работа № 4. Дифференцирование средствами Mathcad.

1. Символьные вычисления производных.

Производной, как известно, называется предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента. Математически производная функ­ции f(x) в точке х определяется как:

f'(x)=

В Mathcad для вычисления производной предусмотрена команда Symbolics / Variable / Differentiate. Для того чтобы данная команда была доступна, в рабочем документе в дифференцируемом выражении предварительно сле­дует выделить переменную, по которой производная должна быть вычислена. Можно просто навести на эту переменную маркер ввода (для чего, например, достаточно на этой переменной щелкнуть кнопкой мыши).

1.1. Производная от выражения.

Н а Рис. 1 представлено выражение ax² + sin(bx), которое будет дифферен­цироваться по переменной х. Это выражение было предварительно введено в рабочий документ, и в нем маркер ввода наведен на переменную х в ар­гументе синуса.

Рис. 1. Дифференцируемое выражение. Рис. 2. Результат вычисления производной по х

После того как переменная в выражении выделена, выбираем команду Symbolics / Variable/ Differentiate. Результат выполнения команды по умолчанию отображается под тем выра­жением, от которого вычисляется производная (Рис. 2).

С полученным выражением можно работать так же, как и с обычным, вве­денным пользователем в рабочий лист. Например, от этого выражения можно вычислить еще одну производную. Например пускай это будет про­изводная по b. Выделяем эту переменную и в очередной раз вы­полняем команду Symbolics / Variable / Differentiate. В результате будет вычислена новая производная, которая отобразиться вни­зу под исходным выражением.

Таким образом, в документе можно вычислять производные практически от любых выражений. Хотя такой метод вычисления производных достаточно прост, он связан с рядом неудобств, которые становятся очевидными при ре­шении более сложных задач:

• Прежде всего, этот метод не пригоден для вычис­ления производной от функции, определенной пользователем в рабочем листе. При попытке вычислить производную с помощью команды Differentiate ре­зультат будет представлен как формальная запись производной от функции. Чтобы получить значение производной в явном виде, придется прибегнуть к другим методам (в частности, использовать оператор вычисления символь­ного значения).

• Еще один обширный класс задач связан с вычислением про­изводных высоких порядков. В этом случае придется несколько раз вызывать команду Differentiate, что не всегда приемлемо.

Поэтому на практике для вычисления производных часто обращаются не к помощи меню, а вводят команды непосредственно в рабочий лист. При этом очень удобны математи­ческие палитры Calculus и Evaluation.

1.2. Символьная производная

Вычислим производную от выражения, не прибегая к командам меню Symbolics. Для этого на палитре Calculus выберем кнопку с изображением символа производной (Рис. 3). В результате этот символ с двумя заполнителями появляется в рабочем доку­менте (Рис. 4).

Рис. 3. Вставка символа производной. Рис. 4. Символ производной.

На месте нижнего заполнителя вводится переменная, по которой вычисляется производная, а на месте второго — дифференцируемое выражение. Если не прибегать к помощи команд меню Symbolics, то после ввода диффе­ренцируемого выражения следует ввести оператор вычисления символьного значения (стрелка вправо). Это можно сделать, щелкнув на соответствующей кнопке палитры Evaluation. После ввода оператора вычисления символьного значения рабочий документ будет иметь вид, как на Рис. 5. Производная будет вычислена, если щелкнуть курсором мыши вне области вводимого выражения или нажать клавишу <Enter>. Результат вычисления производной представлен на Рис. 6.

Рис. 5. Ввод оператора вычисления Рис. 6. Результат вычисления производной

Несложно проверить, что точно такой же результат может быть получен, ес­ли воспользоваться командой Symbolics I Evaluate I Symbolically или на­жать комбинацию клавиш <Shift>+<F9>. Правда, в этом случае результат отображается не справа от вычисляемого выражения, а под ним. Кроме того, между вычислением символь­ного результата с помощью команд меню и ключевых слов (т. е. инструкций, вводимых непосредственно в вычисляемые или преобразуемые символьные выражения посредством палитры Evaluation или Symbolic) существует одна принципиальная разница: если выражение вычислялось через команды меню и затем в документ были внесены изменения, то результат таких вычислений не пересчитывается. При использовании ключевых слов результат обновля­ется автоматически.

Часто бывает необходимо вычислить производную от функции, определен­ной ранее в рабочем документе. В качестве иллюстрации рассмотрим сле­дующий пример.