13.6.Дробные числа в двоичной системе
Как известно, при записи дробных чисел используется точка для отделения целой и дробной части. Веса цифр дробной части равны отрительным степенями двойки, например,
Для нахождения цифр двоичного представления дробного числа нужно сначала записать в двоичной системе его целую часть рассмотренным выше способом – делением на 2.
Заметим, что при умножении числа на 2 точка, отделяющая целую и дробную части, переместится вправо и старший разряд дробной части превратится в младший разряд целой части. Используя это наблюдение, приходим к следующему алгоритму получения двоичного представления числа, меньшего 1. Нужно умножать число, меньшее 1 на 2. Очередная двоичная цифра дробной части равна цифре целой части после очередного умножения числа на 2. Найдем, например, двоичное представление для числа 5/8 = 0.625, табл.54.
Таблица 55. Двоичные цифры числа 5/8
Число |
Число *2 |
Двоичная цифра |
0.625 |
1.25 |
1 |
0.25 |
0.5 |
0 |
0.5 |
1.0 |
1 |
0.0 |
|
|
В данном примере число представляется в виде двоичной дроби с конечным числом цифр, процесс преобразования прекращается, когда число обращается в 0.
Рассмотрим теперь число 0.3, табл.56
Таблица 57. Двоичные цифры числа 0.3
Число |
Число*2 |
Двоичная цифра |
0.3 |
0.6 |
0 |
0.6 |
1.2 |
1 |
0.2 |
0.4 |
0 |
0.4 |
0.8 |
0 |
0.8 |
1.6 |
1 |
0.6 |
1.2 |
1 |
… |
… |
… |
Видно, что получение цифр является бесконечным периодическим процессом. Таким образом,
13.7. Внутреннее представление плавающих типов
Числа с плавающей точкой хранятся в памяти в экспоненциальной форме в двоичной системе счисления. Формула такого представления имеет вид
.
Здесь
1.
– мантисса
числа в двоичной системе,
– порядок
числа в двоичной системе.
Чтобы получить двоичные цифры мантиссы, нужно представить число в виде суммы степеней двойки. Например,
Итак, для числа 5.3 мантисса имеет вид:
=
01010011001100110011001100...2,
порядок равен:
= 102.
Видно, что мантисса числа 5.3 есть бесконечная периодическая дробь. Разряды мантиссы, не умещающиеся в пределы разрядной сетки, отбрасываются. Если старший отбрасываемый разряд равен единице, то происходит округление путем прибавления единицы к младшему разряду мантиссы.
В памяти хранятся знак числа, часть мантиссы и порядок . Самая старшая единица мантиссы не хранится, но учитывается в вычислениях.
Рассмотрим для примера тип float, под который отводится 4 байта памяти с подряд идущими адресами. Из 32 бит, выделяемых для размещения float, старший 31-й разряд используется для хранения знака числа (0 – положительное число, 1 – отрицательное), в 8 разрядах (с 23-го по 30-й) хранится порядок и в 23-х разрядах (с 0-го по 22-й) размещается мантисса. Порядок хранится в увеличенном на шестнадцатеричное число 7F виде, то есть используется двоичная нотация с избытком 127. Это позволяет обойтись без специального разряда для хранения знака порядка.
Пусть для размещения числа типа float выделены байты с адресами
a, a+1, a+2, a+3.
Возможны различные способы размещения в этих байтах разрядов двоичного представления числа. В процессорах фирмы Intel принят способ
1234,
то есть младшие разряды двоичного представления числа размещаются в байтах с меньшими адресами. В табл.58. приведены примеры внутреннего представления чисел типа float.
Таблица 59. Двоичный код для чисел с типа float
Число |
Двоичный код |
16 – ричный код |
||
|
порядок |
Мантисса |
||
1.0 |
0 |
011 1111 1 |
000 0000 0000 0000 0000 0000 |
3f 80 00 00 |
2.0 |
0 |
100 0000 0 |
000 0000 0000 0000 0000 0000 |
40 00 00 00 |
10.0 |
0 |
100 0001 0 |
010 0000 0000 0000 0000 0000 |
41 20 00 00 |
5.30 |
0 |
100 0000 1 |
010 1001 1001 1001 1001 1010 |
40 A9 99 9A |