13.3.Двоичный дополнительный код

Рассмотрим теперь знаковый тип char. Здесь часть битовых комбинаций рассматриваются как положительные числа, а часть как отрицательные. В качестве нуля и положительных чисел принимаются битовые комбинации:

00000000, 00000001,…, 01111111.

Эти комбинации рассматриваются как числа в двоичной системе счисления со значениями:

0, 1, 2, …, 127.

Для отрицательных чисел остаются комбинации:

10000000. 10000001, 10000010, …, 11111111,

у которых старший разряд равен 1. Данным комбинациям можно поставить в соответствие отрицательные числа различными способами. Наиболее удобным оказался дополнительный код, показанный в табл.49.

Таблица 49. Двоичный дополнительный код

Битовая комбинация	Числовое значение	Битовая комбинация	Числовое значение
		1000 0000	–128
0111 1111	127	1000 0001	–127
0111 1110	126	1000 0010	–126
…	…	…	…
0000 0111	7	1111 1001	-7
0000 0110	6	1111 1010	–6
0000 0101	5	1111 1011	–5
0000 0100	4	1111 1100	–4
0000 0011	3	1111 1101	–3
0000 0010	2	1111 1110	–2
0000 0001	1	1111 1111	–1
0000 0000	0

Сравнивая комбинации для положительных и отрицательных чисел, замечаем, что старшие разряды одинаковых по модулю чисел являются обратными или дополнительными по отношению друг к другу, то есть 0 заменяется 1 и наоборот, младшие же разряды одинаковы. Отсюда вытекает следующее правило:

для получения представления абсолютного значения какого-либо отрицательного числа нужно выписать разряды справа, включая первую 1, а все разряды после первой 1 заменить на обратные; для получения представления какого-либо отрицательного числа нужно выписывать разряды для его модуля вплоть до первой 1, а остальные разряды заменить на обратные.

Можно сформулировать и другое правило:

для нахождения модуля отрицательного числа, представленного в двоичном дополнительном коде, нужно заменить все его разряды на обратные и добавить 1.

Найдем, для примера, сумму 1 + (–1):

+	0	0	0	0	0	0	0	1
	1	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	0	0	0	0	0	0

Девятый разряд выходит за границы разрядной сетки и отбрасывается, поэтому получается правильный результат 0.

Формально результат сложения

1 + (–1)

равен

100000000₂ = 2⁸.

Такой же результат получается при сложении любых двух одинаковых по модулю чисел противоположного знака, то есть битовые комбинации противоположных по знаку чисел дополняют друг друга до 2⁸. Отсюда произошло название данного способа представления чисел.

Преимущество двоичного дополнительного кода состоит в том, что процессору достаточно уметь выполнять только две операции: сложения и получения обратного по знаку числа, вычитание сводится к этим операциям, так как разность любых чисел a – b можно представить в виде суммы a + (-b).

Ограниченность разрядной сетки приводит в предельных случаях к парадоксальным результатам. Вычислим, например, 127 + 1:

+	0	1	1	1	1	1	1	1
	0	0	0	0	0	0	0	1
	1	0	0	0	0	0	0	0

Получили:

127 + 1 = –128.

Другие знаковые типы используют также двоичный дополнительный код, только имеют большее число разрядов.