Глава 13.Внутреннее представление чисел

13.1.Двоичная система счисления

Числа, символы, изображения, звуки кодируются в компьютерах в виде последовательностей битов, которые могут находиться в двух различных состояниях. Эти состояния удобно описывать двумя значениями 0 и 1 и считать цифрами, а последовательности этих цифр рассматривать как числа, представленные в двоичной системе счисления. Числа в двоичной системе счисления, так же, как и в десятичной, представляются последовательностью цифр (нулей и единиц), имеющих различный «вес», определяемый положением цифры в числе. В десятичной системе в качестве «веса» цифры используется степень 10, а в двоичной –  степень 2. Вес или старшинство цифры возрастает справа налево. В этом же направлении нумеруются разряды, причем нумерация начинается с 0. В табл.45 показаны цифры двоичного числа 01001110 и веса его цифр.

Таблица 46. Веса двоичных цифр

Номер разряда	7	6	5	4	3	2	1	0
Цифра	0	1	0	0	1	1	1	0
Вес цифры	27=128	26=64	25=32	24=16	23=8	22=4	21=2	20=1

Для получения значения числа в десятичной системе следует умножить веса на значения цифр и сложить:

01001110 = 0128 + 164 + 032 + 016 + 18 + 14 + 12 + 01 = 78.

Двоичные цифры числа получаются путем последовательного деления числа на 2 и нахождения остатков от деления, табл.47.

Таблица 48. Получение двоичных цифр

Частное	78/2 = 39	39/2 = 19	19/2 = 9	9/2 = 4	4/2 = 2	2/2 = 1	1 / 2 = 0
Остаток	78%2 = 0	39%2 = 1	19%2 = 1	9%2 = 1	4%2 = 0	2%2 = 0	1%2 = 1
Цифра	0	1	1	1	0	0	1

Деление числа производится до тех пор, пока не получится нуль. Цифры выписываются в обратном порядке.

13.2.Беззнаковые целые

Беззнаковые целые типы имеют неотрицательные значения. Рассмотрим в качестве примера внутреннее представление типа unsigned char, представление остальных беззнаковых типов (unsigned short, unsigned int, unsigned long) аналогично. Под данные типа unsigned char отводится 1 байт памяти, состоящий из 8 битов или разрядов. Эти разряды могут образовывать

2⁸ = 256

различных комбинаций из нулей и единиц:

00000000, 00000001, …, 11111111.

Данные комбинации рассматриваются как двоичные числа со значениями:

0, 1, 2, …, 255.

Наибольшее значение 255 равно:

2⁸ – 1.

В общем случае, если n – количество двоичных разрядов, отводимых для беззнакового типа, то наибольшее значение этого типа равно:

2ⁿ – 1.

При вычислениях с беззнаковыми целыми используется арифметика по модулю 2ⁿ, то есть в качестве результата любой операции берется остаток от деления на 2ⁿ, который может иметь значения от 0 до 2ⁿ – 1, поэтому при вычислениях не может быть переполнения.

Рассмотрим сложение двух чисел 100 и 200 типа unsigned char. Найдем их двоичное представление в виде 8 двоичных цифр, рис.55, 56.

100₁₀ = 01100100₂

Рис.55. Получение двоичного представления для числа 100

200₁₀ = 11001000₂

Рис.56. Получение двоичного представления для числа 200

Обратим внимание, что двоичное представление для 200 получается из двоичного представления для 100 путем сдвига всех его разрядов влево на 1 позицию.

Выполним сложение этих числе столбиком:

+	0	1	1	0	0	1	0	0
	1	1	0	0	1	0	0	0
1	0	0	1	0	1	1	0	0

Для старшей единицы не хватает разряда, поэтому она отбрасывается, в результате получаем:

100₁₀ + 200₁₀ = 00101100₂ = 32+8+4 = 44₁₀.

Найдем теперь разность 100 - 200:

–	0	1	1	0	0	1	0	0
	1	1	0	0	1	0	0	0
	1	0	0	1	1	1	0	0

Здесь выполняется заем из несуществующего девятого разряда, в результате получается:

100₁₀  – 200₁₀ = 10011100₂ = 128 + 16 + 8 + 4 = 156₁₀.