1.10. Теорема сложения вероятностей

1.10.1. Вероятность суммы событий

Если события А и В несовместны, то вероятность суммы вычисляется по формуле, полученной в свойствах вероятности:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В). (1.5)

Теорема 1.3. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А + В) =Р(А) + Р(В) – Р(АВ). (1.6)

Доказательство. Событие А+В произойдет, если произойдет событие А или произойдут события В и , т.е. А + В = А + В .

Событие В произойдет, если произойдут события А и В или произойдут события В и , т.е. В = АВ + В .

В справедливости сказанного можно убедиться, глядя на рисунок 1.6.

Рис. 1.6.

Так как события, стоящие в правых частях полученных равенств, несовместны, то по формуле (1.5) имеем:

Р (А + В ) = Р ( А) + Р ( В )

Р ( В ) = Р ( АВ ) + Р( В ).

Если из последнего равенства выразить второе слагаемое справа и подставить в первое равенство, то получим утверждение теоремы.

Итак, прежде чем вычислять вероятность суммы двух событий, следует выяснить совместны эти события или несовместны и в зависимости от этого использовать формулу (1.5) или (1.6).

Пример 1.12.

Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,6, вторым 0,7. Стрелки одновременно выстрелили в цель. Какова вероятность, что а) цель поражена; б) в цель попадут оба; в) попадет только один из них.

Решение

Введем события А – в цель попадет первый стрелок, В – попадет второй. Тогда событие С, состоящее в поражении цели, есть сумма совместных и независимых событий А и В, т.е. С = А + В . Применяя соответствующие формулы, получим:

а) Р(С) = Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)Р(В) = 0,6 + 0,7 – 0,6·0,7 = 0,88;

б) Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 0,6·0,7 = 0,42;

в) Р(А + В) = 0,6·0,3 +0,4·0,7 =0,46, так как события в сумме несовместны.

1.10.2. Вероятность появления хотя бы одного события

Можно вывести формулу для вычисления вероятности суммы любого конечного числа событий, однако эта формула громоздка. Например, для трех слагаемых вероятность появления хотя бы одного из них имеет вид:

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС).

Для вычисления вероятности суммы большого числа событий применяют переход к противоположному событию. Прием особенно эффективен в случае независимых событий.

Теорема 1.4. Вероятность появления хотя бы одного из совокупности событий равна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных событий:

Р (хотя бы одного события) = 1 – Р (ни одного события).

Например, для тех же трех событий получим более удобную формулу:

Р ( А + В + С ) = 1 – Р ( ). (1.7)

Пример 1.13.

Имеется система параллельно соединенных между собой четырех элементов (скажем, электрическая цепь) (рис.1.7).

В

Рис. 1.7.

ероятность безотказной работы каждого элемента в течение заданного времени (надежность) равна 0,8. Какова надежность системы?

Решение

Пусть событие состоит в безотказной работе в течение заданного времени i –го элемента, событие А – безотказная работа всей системы в течение этого времени. Тогда , т.е. безотказная работа хотя бы одного элемента эквивалентна безотказной работе системы. Непосредственное вычисление вероятности суммы этих совместных событий затруднительно. Перейдем к противоположным событиям. Выход из строя системы эквивалентен выходу из строя всех элементов, т.е. .Считаем, что элементы выходят из строя независимо друг от друга, поэтому

= (0,2)⁴ = 0,0016.

В итоге имеем = 1- 0,0016 = 0,9984.

При параллельном соединении надежность системы возрастает по сравнению с надежностью каждого элемента, этим пользуются при дублировании элементов.