4.4. Примеры нахождения законов распределения
Рассмотрим примеры нахождения законов распределения случайных величин и их числовых характеристик.
Пример 4.7.
Составить закон распределения числа
попаданий в цель при трех выстрелах по
мишени, если вероятность попадания при
каждом выстреле равна 0,4. Найти интегральную
функцию F(х) для
полученного распределения дискретной
случайной величины Х и начертить
ее график. Найти математическое ожидание
M(X),
дисперсию D(X)
и среднее квадратическое отклонение
(Х)
случайной величины X.
Решение
1) Дискретная случайная величина Х – число попаданий в цель при трех выстрелах – может принимать четыре значения: 0, 1, 2, 3. Вероятность того, что она примет каждое из них, найдем по формуле Бернулли при: n=3, p=0,4, q=1-p=0,6 и m=0, 1, 2, 3:
.
Получим вероятности возможных значений
Х:
;
;
.
Составим искомый закон распределения случайной величины Х:
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
Р |
0,216 |
0,432 |
0,288 |
0,064 |
Контроль: 0,216+0,432+0,288+0,064=1.
Построим многоугольник распределения полученной случайной величины Х. Для этого в прямоугольной системе координат отметим точки (0; 0,216), (1; 0,432), (2; 0,288), (3; 0,064). Соединим эти точки отрезками прямых, полученная ломаная и есть искомый многоугольник распределения (рис. 4.1).
х
Рис. 4.1.
2) Если х 0, то F(х)=0. Действительно, значений, меньших нуля, величина Х не принимает. Следовательно, при всех х 0 , пользуясь определением F(х), получим F(х)=P(X<x)=0 (как вероятность невозможного события).
Если 0<x
,
то F(X)=0,216.
Действительно, в этом случае F(х)=P(X<x)=
= P(-
<X
0)+P(
0<X<x)=0,216+0=0,216.
Если взять, например, х=0,2, то F(0,2)=P(X<0,2). Но вероятность события Х<0,2 равна 0,216, так как случайная величина Х лишь в одном случае принимает значение меньшее 0,2, а именно 0 с вероятностью 0,216.
Если 1<x
,
то
Действительно, Х может принять значение 0 с вероятностью 0,216 и значение 1 с вероятностью 0,432; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, Х может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,648.
Если 2<x
,
то рассуждая аналогично, получим
F(х)=0,216+0,432 +
+ 0,288=0,936. Действительно, пусть, например,
х=3. Тогда F(3)=P(X<3)
выражает вероятность события X<3 –
стрелок сделает меньше трех попаданий,
т.е. ноль, один или два. Применяя теорему
сложения вероятностей, получим указанное
значение функции F(х).
Если x>3, то F(х)=0,216+0,432+0,288+0,064=1. Действительно, событие X является достоверным и вероятность его равна единице, а X>3 – невозможным. Учитывая, что
F(х)=P(X<x)=P(X 3) + P(3<X<x), получим указанный результат.
Итак, получена искомая интегральная функция распределения случайной величины Х:
F(x)=
график которой изображен на рис. 4.2.
Рис. 4.2
3) Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех возможных значений Х на их вероятности:
М(Х)=0
=1,2.
То есть, в среднем происходит одно попадание в цель при трех выстрелах.
Дисперсию можно вычислить, исходя из
определения дисперсии D(X)=M(X-M(X))
или воспользоваться формулой D(X)=M(X
,
которая ведет к цели быстрее.
Напишем закон распределения случайной величины Х :
Х2 |
0 |
1 |
4 |
9 |
. |
Р |
0,216 |
0,432 |
0,288 |
0,064 |
Найдем математическое ожидание для Х :
М(Х
)
= 0
4
= 2,16.
Вычислим искомую дисперсию:
D(X) = M(X ) – (M(X)) = 2,16 – (1,2) = 0,72.
Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле
(X)
=
= 0,848.
Интервал (M-
;
M+
)
= (1,2-0,85; 1,2+0,85) = (0,35; 2,05) – интервал
наиболее вероятных значений случайной
величины Х, в него попадают значения
1 и 2.
Пример 4.8.
Дана дифференциальная функция распределения (функция плотности) непрерывной случайной величины Х:
f(x)=
1) Определить постоянный параметр a.
2) Найти интегральную функцию F(x).
3) Построить графики функций f(x) и F(x).
4) Найти двумя способами вероятности Р(0,5<X 1,5) и P(1,5<X<3,5).
5). Найти математическое ожидание М(Х),
дисперсию D(Х) и
среднее квадратическое отклонение
случайной величины Х.
Решение
1) Дифференциальная функция по свойству f(x) должна удовлетворять условию .
Вычислим этот несобственный интеграл для данной функции f(x):
Подставляя этот результат в левую часть равенства, получим, что а=1. В условии для f(x) заменим параметр а на 1:
2) Для нахождения F(x) воспользуемся формулой
.
Если х
,
то
,
следовательно,
Если 1
то
Если x>2, то
Итак, искомая интегральная функция F(x) имеет вид:
3) Построим графики функций f(x) и F(x) (рис. 4.3 и 4.4).
Рис. 4.3
Рис. 4.4.
4) Вероятность попадания случайной
величины в заданный интервал (а,b)
вычисляется по формуле
,
если известна функция
f(x),
и по формуле P(a
< X
<b)
= F(b)
– F(a),
если известна
функция F(x).
Найдем
по двум формулам и сравним результаты.
По условию а=0,5; b=1,5;
функция f(X)
задана в пункте 1). Следовательно,
искомая вероятность по формуле равна:
Та же вероятность может быть вычислена по формуле b) через приращение полученной в п.2). интегральной функции F(x) на этом интервале:
,
так как F(0,5)=0.
Аналогично находим
,
или
,
так как F(3,5)=1.
5) Для нахождения математического
ожидания М(Х) воспользуемся формулой
Функция f(x)
задана в решении пункта 1), она равна
нулю вне интервала (1,2]:
Дисперсия непрерывной случайной величины D(Х) определяется равенством
,
или равносильным равенством
.
Для нахождения D(X) воспользуемся последней формулой и учтем, что все возможные значения f(x) принадлежат интервалу (1,2]:
Среднее квадратическое отклонение
=
=0,276.
Интервал наиболее вероятных значений случайной величины Х равен
(М- ,М+ ) = (1,58-0,28; 1,58+0,28) = (1,3; 1,86).