1 Лабораторна робота № 1 закони розподілу і основні характеристики випадкових величин

1.1 Мета роботи

Дана робота допоможе вивчити закони розподілу і основні характеристики випадкових величин.

1.2 Означення випадкового процесу

Поняття випадкового процесу є узагальненням поняття випадкової величини.

Випадковим процесом називається процес, значення якого при будь-якому фіксованому є випадковою величиною .

Випадкова величина .називається розрізом випадкового процесу, якій відповідає даному значенню аргументу .

Припустимо , що проведено випробування, в ході якого випадковій процес набув повністю визначений вигляд. Це вже звичайна невипадкова функція аргументу . Воно називається реалізацією випадкового процесу в даному випробуванні на проміжку часу .

Нехай маємо випадковий процес . Розріз випадкового процесу для будь-якого є випадковою величиною з законом розподілу

. (1.1)

Функція (1.1) називається одновимірним законом розподілу випадкового процесу .

1.3 Числові характеристики випадкового процесу

Математичним сподіванням випадкового процесу називається невипадкова функція , яка для будь-якого дорівнює математичному сподіванню відповідного розрізу випадкового процесу

. (1.2)

Центрованим випадковим процесом називається процес

. (1.3)

Початковим процесом -го порядку випадкового процесу називається математичне сподівання -го ступеню відповідного розрізу випадкового процесу:

. (1.4)

Центральним моментом -го порядку називається математичне сподівання -го ступеню центрованого процесу:

. (1.5)

Другий центральній момент називається дисперсією випадкового процесу , яка для будь-якого дорівнює дисперсії відповідного розрізу випадкового процесу.

Середнім квадратичним відхиленням випадкового процесу називається арифметичне значення кореня квадратного з :

. (1.6)

Ступінь лінійної залежності між двома випадковими величинами и визначається їх коваріацією

. (1.7)

Розглянемо два розрізу випадкового процесу для моментів часу і − і . Коваріація дорівнює:

. (1.8)

Функція називається кореляційною функцією випадкового процесу .

Нормованою кореляційною функцією випадкового процесу називається функція, яка дорівнює

. (1.9)

1.4 Деякі розподіли випадкових величин

Розглянемо розподіли дискретних випадкових величин.

1.4.1 Біноміальний розподіл

Нехай проведено − випробувань, в кожному з яких події відбувається з ймовірністю . Біноміальним називається розподіл ймовірностей, який визначається формулою Бернулі

, (1.10)

де k = 0, 1, 2, … , n, p − появи події в одному випробуванні, .

− ймовірність того, що подія з’явиться разів в випробуваннях.

Закон розподілу можна відобразити у вигляді таблиці:

						0

Математичне сподівання біноміального розподілу дорівнює:

. (1.11)

Дисперсія: . (1.12)