182

8. Дифференциальные уравнения

8.1. Основные понятия и определения

При исследовании различных явлений и процессов взаимодействия между различными средами (твёрдыми, жидкими и газообразными) в области механики, физики, химических и пищевых технологий часто пользуются математическими моделями, выражающими фундаментальные законы сохранения. Как правило, эти математические модели приводят к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие процесс или явление, с какой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков. Такие уравнения называются дифференциальными.

В качестве примера можно рассмотреть простейший случай движения материальной точки. Основной закон механического взаимодействия описывается законом Ньютона или , который выражает баланс действующих на точку сил (сила инерции уравновешивается физической силой ). Из дифференциального исчисления известно, что ускорение точки при прямолинейном её движении определяется второй производной от текущей координаты , т.е. . Поэтому математическая модель движения материальной точки представляется следующей зависимостью

, (8.1)

здесь имеется в виду, что в общем случае действующая на точку сила F может зависеть от времени t, перемещения х и скорости этой точки. Уравнение (8.1) является дифференциальным уравнением прямолинейного движения материальной точки.

Решением дифференциального уравнения называется функция, обраща-ющая дифференциальное уравнение в тождество. Так, для уравнения (8.1) в случае постоянной силы, решением является функция , где и - произвольные постоянные.

Рассмотрим некоторые общие сведения о дифференциальных уравнениях (ДУ).

Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Примеры.

1.⁰ Уравнение (8.1) – обыкновенное уравнение второго порядка;

2.⁰ Закон изменения температуры тела в зависимости от времени t, описывается уравнением , (T₀ – температура охлаждающей среды, k – коэффициент пропорциональности) – уравнение первого порядка;

3.⁰ Зависимость массы х вещества, вступающего в химическую реак-цию, от времени t во многих случаях описывается уравнением (k – коэффициент пропорциональности) - обыкновенное дифференциальное урав-нение 1 – го порядка.

4.⁰ Уравнение конвективной диффузии, описывающее процесс массо-переноса в движущейся среде, широко применяемое для описания функционирования технологических систем, имеет вид

здесь с – концентрация вещества в потоке, - компоненты скорости среды, D – коэффициент диффузии. Данное уравнение является дифферен-циальным уравнением в частных производных второго порядка.