- •§ 1 Топология п.1 Пространство
- •П.2 Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве
- •§ 2 Функции многих переменных п.1 Предел функции многих переменных
- •П.2 Непрерывность функции многих переменных
- •П.3 Свойства непрерывных функций
- •§ 3 Дифференцируемость функций многих переменных п.1 Частные производные
- •П.2 Дифференцируемость функций многих переменных
- •П.7 Касательная плоскость к графику функции двух переменных. Геометрический смысл дифференциала
- •П.8 Производная по направлению. Градиент
- •П.9 Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •П.10 Формула Тейлора для функций нескольких переменных
- •§ 4 Неявные функции п.1 Определения
- •П.2 Существование, непрерывность и дифференцируемость неявной функции
- •П.3 Неявная функция нескольких переменных
- •§ 5 Локальный экстремум функции нескольких переменных п.1 Определения
- •П.2 Некоторые сведения о квадратичных формах
- •П.3 Достаточные условия локального экстремума
- •§ 6 Условный экстремум п.1 Определения
- •П.2 Прямой метод отыскания точек условного экстремума
- •П.3 Метод множителей Лагранжа
- •Алгоритм нахождения точек условного экстремума методом Лагранжа
П.3 Достаточные условия локального экстремума
Второй дифференциал функции в точке записывается в виде:
.
Отсюда видно, что является квадратичной формой от перемен-ных , а частные производные – коэффициентами этой квадратичной формы.
Теорема (достаточные условия экстремума) Пусть функция имеет в окрестности точки непрерывные частные производные второго порядка и пусть . Тогда:
1) если второй дифференциал есть положительно определенная квадратичная форма, то – точка строгого минимума функции ;
2) если – отрицательно определенная квадратичная форма, то – точка строгого максимума функции ;
3) если – знакопеременная квадратичная форма, то функция не имеет экстремума в точке .
Замечание. Если для функции двух переменных обозначить
, то:
если , то функция в точке имеет экстремум (максимум при и минимум при );
если , то функция не имеет экстремума;
если , то функция в точке может иметь экстремум, а может и не иметь. В этом случае нужны дополнительные исследования.
§ 6 Условный экстремум п.1 Определения
Пусть на открытом множестве заданы функции , причем . Пусть Е – множество точек множества G, удовлетворяющих системе уравнений:
. (1)
Уравнения (1) будем называть уравнениями связей.
О. Точка называется точкой условного минимума функции при наличии связей (1), если найдется такая окрестность , что для выполняется неравенство .
Аналогично определяются точки строгого условного минимума, условного максимума, строгого условного максимума.
Точки условного максимума и условного минимума называются точками условного экстремума.
П.2 Прямой метод отыскания точек условного экстремума
Допустим, что из системы уравнений (1) можно выразить какие-либо m переменных через остальные переменные. Тогда, подставив вместо соответствующих переменных их выражения через остальные n-m переменных в функцию , получим функцию F от n-m переменных.
Задача на нахождение условного экстремума сведена к задаче нахождения обычного (локального) экстремума функции F, зависящей от n-m переменных.
Пример Найти точки условного экстремума функции , если .
Решение. Выразим из уравнения связи . Тогда . Отсюда , при . Так как , то – точка условного максимума.
Этот метод нахождения условного экстремума не всегда эффективен ввиду трудности разрешения уравнений связей относительно m переменных.
Геометрический смысл задачи на условный экстремум.
Соотношения (1) задают в пространстве некоторую поверхность. Если равенства (1) заданы с помощью независимых переменных и , то данная поверхность имеет размерность n-m. Задача состоит в том, чтобы среди точек, лежащих на данной поверхности, найти те, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения.
П.3 Метод множителей Лагранжа
Рассмотрим функцию n+m переменных:
, где , .
Числа называются множителями Лагранжа, а функция называется функцией Лагранжа.
О. Точка называется стационарной точкой функции Лагранжа, если
, … , , , … ,
.
Теорема 1 (Лагранжа. Необходимое условие условного экстремума) Пусть – точка условного экстремума функции при наличии связей (1) и пусть функции , непрерывно-дифференцируемы в окрестности точки , причем в точке ранг матрицы Якоби
равен m. (*)
Тогда найдутся такие множители Лагранжа , что будет стационарной точкой функции Лагранжа.
Обозначим – второй дифференциал функции Лагранжа, вычисленный по переменным в точке , т.е.
.
Обозначим через следующее множество в :
.
Теорема 2 (Необходимое условие точки условного минимума) Пусть – точка условного экстремума функции при наличии связей (1) и пусть функции , имеют непрерывные частные производные II порядка в окрестности точки , причем в точке ранг матрицы Якоби (*) равен m. Тогда найдутся такие множители Лагранжа такие, что является стационарной точкой функции Лагранжа, а при .
Теорема 3 (достаточные условия условного экстремума) Пусть функции , имеют непрерывные частные производные II порядка в окрестности точки , причем в точке ранг матрицы Якоби (*) равен m, и пусть является стационарной точкой функции Лагранжа .
Тогда если есть положительно определенная квадратичная форма при , то является точкой условного строгого минимума функции при наличии связей (1).
Если есть отрицательно определенная квадратичная форма при , то является точкой условного строгого максимума функции при наличии связей (1).
Если есть неопределенная квадратичная форма при , то не является точкой условного экстремума функции при наличии связей (1).