![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§ 1 Топология п.1 Пространство
- •П.2 Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве
- •§ 2 Функции многих переменных п.1 Предел функции многих переменных
- •П.2 Непрерывность функции многих переменных
- •П.3 Свойства непрерывных функций
- •§ 3 Дифференцируемость функций многих переменных п.1 Частные производные
- •П.2 Дифференцируемость функций многих переменных
- •П.7 Касательная плоскость к графику функции двух переменных. Геометрический смысл дифференциала
- •П.8 Производная по направлению. Градиент
- •П.9 Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •П.10 Формула Тейлора для функций нескольких переменных
- •§ 4 Неявные функции п.1 Определения
- •П.2 Существование, непрерывность и дифференцируемость неявной функции
- •П.3 Неявная функция нескольких переменных
- •§ 5 Локальный экстремум функции нескольких переменных п.1 Определения
- •П.2 Некоторые сведения о квадратичных формах
- •П.3 Достаточные условия локального экстремума
- •§ 6 Условный экстремум п.1 Определения
- •П.2 Прямой метод отыскания точек условного экстремума
- •П.3 Метод множителей Лагранжа
- •Алгоритм нахождения точек условного экстремума методом Лагранжа
П.7 Касательная плоскость к графику функции двух переменных. Геометрический смысл дифференциала
Пусть функция
дифференцируема на открытом множестве
.
Рассмотрим её график, т.е. множество
.
Пусть точка
лежит на графике функции
,
т.е.
.
Найдем дифференциал
.
Известно, что
вектор
есть касательный вектор к кривой Г,
проходящей через точку
и лежащей на графике функции
.
Условие
означает, что вектор
ортогонален вектору касательной. Поэтому
вектор
ортогонален любой кривой, лежащей на
графике
и проходящей через точку
.
Его называют вектором
нормали к
графику функций в точке Р.
Плоскость, проходящая через точку Р и ортогональная вектору нормали , называется касательной плоскостью к графику функции в точке Р. Её уравнение имеет вид:
.
Прямая, проходящая через точку Р и перпендикулярная касательной плоскости, называется нормалью к графику функции в точке Р. Её уравнение имеет вид:
.
Если поверхность
задана неявно, т.е. уравнением
,
то уравнение касательной плоскости
имеет вид:
.
Из уравнения касательной плоскости получаем:
.
Получили
геометрический
смысл дифференциала:
есть приращение аппликаты (координаты
z)
на касательной плоскости.
Геометрический
смысл дифференцируемости функции в
точке: если
функция
дифференцируема в точке
,
то в точке
существует касательная плоскость к
графику этой функции.
П.8 Производная по направлению. Градиент
Пусть функция
определена в области
и пусть точка
.
Рассмотрим вектор
,
где
,
т.е
,
–
углы, которые
образует вектор
с положительным направлением осей Ox,
Oy,
Oz
соответственно.
O.
Производной функции
в точке
направлении
называется величина
.
Обозначим
.
Тогда
(имеется ввиду скалярное произведение).
Множество точек,
для которых
,
=const
будем
называть линией
уровня
функции
.
Утверждение
Вектор
ортогонален линии уровня, проходящей
через точку
.
Градиент показывает направление
наибольшего роста функции.
П.9 Частные производные и дифференциалы высших порядков
Пусть для функции
,
существуют частная производная
.
Если эта функция имеет в некоторой точке
частную производную
,
то эта производная называется частной
производной второго порядка
и обозначается
или
.
Если
,
то эта производная обозначается
.
Производные
и
называются смешанными.
Вообще говоря,
не
всегда равна
.
Теорема (о смешанных производных) Если обе смешанные производные и определены в некоторой окрестности точки и непрерывны в этой точке, то = .
Производные более высоких порядков определяются по индукции.
Например,
.
Дифференциалом
второго порядка
для
называется величина
.
Если смешанные
производные непрерывны, то для функции
двух переменных
.
Если обозначить
оператор
,
то для
,
.
Например,
.
Отметим, что дифференциалы второго и более высокого порядков не обладают свойством инвариантности относительно замены переменных.