П.3 Достаточные условия локального экстремума

Второй дифференциал функции в точке записывается в виде:

.

Отсюда видно, что является квадратичной формой от перемен-ных , а частные производные – коэффициентами этой квадратичной формы.

Теорема (достаточные условия экстремума) Пусть функция имеет в окрестности точки непрерывные частные производные второго порядка и пусть . Тогда:

1) если второй дифференциал есть положительно определенная квадратичная форма, то – точка строгого минимума функции ;

2) если – отрицательно определенная квадратичная форма, то – точка строгого максимума функции ;

3) если – знакопеременная квадратичная форма, то функция не имеет экстремума в точке .

Замечание. Если для функции двух переменных обозначить

, то:

1. если , то функция в точке имеет экстремум (максимум при и минимум при );

2. если , то функция не имеет экстремума;

3. если , то функция в точке может иметь экстремум, а может и не иметь. В этом случае нужны дополнительные исследования.

§ 6 Условный экстремум п.1 Определения

Пусть на открытом множестве заданы функции , причем . Пусть Е – множество точек множества G, удовлетворяющих системе уравнений:

. (1)

Уравнения (1) будем называть уравнениями связей.

О. Точка называется точкой условного минимума функции при наличии связей (1), если найдется такая окрестность , что для выполняется неравенство .

Аналогично определяются точки строгого условного минимума, условного максимума, строгого условного максимума.

Точки условного максимума и условного минимума называются точками условного экстремума.

П.2 Прямой метод отыскания точек условного экстремума

Допустим, что из системы уравнений (1) можно выразить какие-либо m переменных через остальные переменные. Тогда, подставив вместо соответствующих переменных их выражения через остальные n-m переменных в функцию , получим функцию F от n-m переменных.

Задача на нахождение условного экстремума сведена к задаче нахождения обычного (локального) экстремума функции F, зависящей от n-m переменных.

Пример Найти точки условного экстремума функции , если .

Решение. Выразим из уравнения связи . Тогда . Отсюда , при . Так как , то – точка условного максимума.

Этот метод нахождения условного экстремума не всегда эффективен ввиду трудности разрешения уравнений связей относительно m переменных.

Геометрический смысл задачи на условный экстремум.

Соотношения (1) задают в пространстве некоторую поверхность. Если равенства (1) заданы с помощью независимых переменных и , то данная поверхность имеет размерность n-m. Задача состоит в том, чтобы среди точек, лежащих на данной поверхности, найти те, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения.

П.3 Метод множителей Лагранжа

Рассмотрим функцию n+m переменных:

, где , .

Числа называются множителями Лагранжа, а функция называется функцией Лагранжа.

О. Точка называется стационарной точкой функции Лагранжа, если

, … , , , … ,

.

Теорема 1 (Лагранжа. Необходимое условие условного экстремума) Пусть – точка условного экстремума функции при наличии связей (1) и пусть функции , непрерывно-дифференцируемы в окрестности точки , причем в точке ранг матрицы Якоби

равен m. (*)

Тогда найдутся такие множители Лагранжа , что будет стационарной точкой функции Лагранжа.

Обозначим – второй дифференциал функции Лагранжа, вычисленный по переменным в точке , т.е.

.

Обозначим через следующее множество в :

.

Теорема 2 (Необходимое условие точки условного минимума) Пусть – точка условного экстремума функции при наличии связей (1) и пусть функции , имеют непрерывные частные производные II порядка в окрестности точки , причем в точке ранг матрицы Якоби (*) равен m. Тогда найдутся такие множители Лагранжа такие, что является стационарной точкой функции Лагранжа, а при .

Теорема 3 (достаточные условия условного экстремума) Пусть функции , имеют непрерывные частные производные II порядка в окрестности точки , причем в точке ранг матрицы Якоби (*) равен m, и пусть является стационарной точкой функции Лагранжа .

Тогда если есть положительно определенная квадратичная форма при , то является точкой условного строгого минимума функции при наличии связей (1).

Если есть отрицательно определенная квадратичная форма при , то является точкой условного строгого максимума функции при наличии связей (1).

Если есть неопределенная квадратичная форма при , то не является точкой условного экстремума функции при наличии связей (1).