§ 2 Функции многих переменных п.1 Предел функции многих переменных

Пусть Х – некоторое подмножество пространства . Функция называется функцией многих переменных и обозначается , . Например, , , .

Напомним, что окрестность точки – это любое открытое множество, содержащее точку . Проколотой окрестностью точки будем называть множество .

. (определение по Коши) Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности , . Говорят, что число А является пределом функции при , если

.

. (определение по Гейне) Говорят, что функция , определенная в некоторой проколотой окрестности , имеет при предел А, если для любой последовательности , такой, что при , следует, что .

Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны.

Для функции двух переменных пишут . Такой предел называется двойным.

Пример 1 , так как

.

Пример 2 Функция не имеет предела при .

Воспользуемся определением предела по Гейне.

Возьмем последовательности и . Имеем , . Так как пределы значений функции различны, то предела функции в точке не существует.

Существуют понятия «предел по множеству», «предел по направлению». И существуют примеры, подтверждающие, что из существования этих пределов не следует существования предела функции в точке.

Повторные пределы

. Пусть функция двух переменных определена на множестве . Допустим, для любого фиксированного существует и функция определена в проколотой окрестности . Если существует , то этот предел называется повторным.

Аналогично определяется .

Как показывают примеры, из существования двойного предела не следует существование повторных пределов, а из существования и равенства повторных пределов не следует существование двойного предела.

Пример 1 не существует, но и

.

Пример 2 . Так как , то

. Значит, .

Но не существует, .

Бесконечные пределы и пределы в бесконечности

Эти пределы определяются аналогично пределам для функции одной переменной. Например, означает:

. Здесь .

.

.

.

П.2 Непрерывность функции многих переменных

. Функция , определенная в некоторой окрестности точки , непрерывна в точке , если существует .

. Функция , определенная в окрестности , непрерывна в точке , если .

. Функция называется непрерывной на множестве М, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Пример Функция не является непрерывной в точке , так как не существует . Действительно, если взять две последовательности и , то получим

, при .

Теорема (о непрерывности сложной функции) Пусть функции определены в некоторой окрестности точки и непрерывны в точке ; функция определена в окрестности точки и непрерывна в точке . Тогда в некоторой окрестности точки определена сложная функция , которая непрерывна в точке .

Пример непрерывна на .

Здесь , , , .