§ 1 Топология п.1 Пространство

. Множество X называется метрическим пространством или пространством с расстоянием, если каждой паре элементов поставлено в соответствие число , называемое расстоянием между х и y, такое, что выполняются условия:

1) ,

2) ,

3) (неравенство треугольника).

Пример 1) – пространство всевозможных упорядоченных пар действительных чисел, расстояние ;

2) пространство – пространство всевозможных упорядоченных наборов из n чисел. Если , то расстояние . Пространство является метрическим.

. Пусть – последовательность точек из . Говорят, что последователь-ность сходится к точке а и пишут , если , т.е. .

. Шаром (открытым шаром) в с центром в точке а радиуса r называется множество .

. Последовательность точек называется ограниченной, если она содержится в некотором шаре, т.е. и .

Лемма 1 Последовательность точек метрического пространства , где сходится к пределу тогда, и только тогда, когда существуют все , .

Доказательство следует из неравенства

.

Если при , то и , и обратно ■

Лемма 2 Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказательство. Пусть , т.е. . Тогда числовая последовательность ограничена. Тогда

■

Лемма 3 Если последовательность сходится, то её предел – единственен.

Доказательство. Допустим, и . В силу неравенства треугольника, . Т.к и , то . Значит, ■

. Последовательность точек метрического пространства Х фундаментальной, если

.

Лемма В пространстве последовательность сходится тогда, и только тогда, когда она фундаментальна.

П.2 Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве

. Точка называется внутренней точкой для множества М, если она принадлежит этому множеству вместе с некоторым шаром с центром в этой точке, т.е. .

. Совокупность всех внутренних точек множества М называется внутренностью множества М и обозначается .

. Если все точки множества М являются внутренними, то множество М называется открытым.

Пустое множество Ø считается открытым, по определению.

Теорема 1) Всё пространство Х – открытое множество. 2) Объединение любого количества открытых множеств есть открытое множество. 3) Пресечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество.

. Окрестностью точки будем называть любое открытое множество, содержащее точку .

Например, шар является окрестностью точки .

. Точка называется предельной точкой множества М, если в любой окрестности точки есть точки множества М, отличные от точки .

. Множество называется замкнутым, если дополнение его является открытым.

Утверждение Множество М замкнуто тогда, и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки. (Доказательство от противного)

Теорема 1) Всё пространство Х и пустое множество Ø – замкнуты.

2) Пересечение любого количества замкнутых множеств есть замкнутое множество. 3) Объединение конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.

. Замыканием множества М называется объединение множества М со всеми своими предельными точками. Обозначается .

. Множество называется компактным, если оно замкнуто и ограничено.

. Точка а называется граничной точкой множества М, если в любой окрестности точки а есть как точки, принадлежащие М, так и точки, не принадлежащие М.

Совокупность всех граничных точек множества М называется границей множества М и обозначается .