Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Latinin_S.M._Vishcha_matem._Navch.-metod._rek.2...doc

Скачиваний:

Добавлен:

14.11.2019

Размер:

8.96 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1913 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

2.3 Інтегральне числення функцій декількох змінних

2.3.1 Кратні інтеграли

Якщо будь–яка пряма, що проходить через внутрішню точку області і паралельна осі ( ), перетинає границю області тільки в двох точках, то область називається простою (або правильною) у напрямі осі ( ).

Основні види простих областей інтегрування на площині :

1. Область обмежена неперервними лініями і , де і прямими і , де .

2. Область обмежена неперервними лініями , , де і прямими і .

Для таких простих областей подвійний інтеграл обчислюється за формулою:

; (2.3.1)

. (2.3.2)

Праві частини формул (2.3.1) і (2.3.2) називають повторними (або двократними) інтегралами, а процес визначення меж інтегрування – приведенням подвійного інтеграла до повторного.

○ Приклад 2.3.1. Обчислити подвійний інтеграл , де область інтегрування обмежена лініями , .

Розв'язання. Лінії і перетинаються в точках і . Область інтегрування є правильною як у напрямі осі , так і у напрямі осі . З формули (2.3.1) маємо

●

Площа плоскої фігури дорівнює подвійному інтегралу

. (2.3.3)

Об'єм тіла, обмеженого поверхнею , де – невід'ємна функція, площиною і циліндричною поверхнею, напрямною якої служить границя області , а твірні паралельні осі , чисельно дорівнює подвійному інтегралу від функції по області :

. (2.3.4)

○ Приклад 2.3.2. Обчислити площу області, обмеженої лініями , .

Розв'язання. Визначимо точки перетину ліній і . В точці перетину ординати рівні, тому , .

Ми отримали дві точки перетину і . Отже, площа області, обмеженої лініями і , дорівнює

●

2.3.2 Криволінійні і поверхневі інтеграли

Неперервна крива називається простою, якщо при її параметричному завданні кожній її точці відповідає лише одне значення параметра.

Криволінійний інтеграл першого роду від функції по кривій є криволінійним інтегралом по довжині дуги

, (2.3.5)

де – елемент довжини дуги.

Обчислення криволінійного інтеграла першого роду:

1. Якщо крива задана параметричними рівняннями

де функції і неперервні разом з своїми похідними , то одержуємо формулу для обчислення інтеграла (2.3.5)

(2.3.6)

2. Якщо крива задана явним рівнянням

то формула (2.3.6) приймає вигляд

(2.3.7)

○ Приклад 2.3.3. Обчислити інтеграл де - чверть еліпса яка лежить в першому квадранті.

Розв'язання. Рівняння еліпса в параметричній формі

тому .

Використовуючи формулу (2.3.6), отримаємо

Зробимо заміну змінних тоді і

. ●

○ Приклад 2.3.4. Обчислити інтеграл де – дуга параболи , яка обмежена точками і

Розв'язання. Оскільки крива задана функцією , то

При русі уздовж дуги параболи від точки до точки змінна змінюється від значення 1 до значення 2. Тоді з (2.3.7), отримаємо

●

Література: [1, с. 273 – 277, 286-295], [2, с. 425 ‑ 428].

Контрольна робота № 2

Завдання 2.1. Знайти інтеграли:

1.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
2.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
3.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
4.	1) ;2) ;3) ;4) ; 5) ;
5.	1) ;2) ;3) ;4); ;5) ;
6.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
7.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
8	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
9.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
10.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
11.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
12.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
13.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
14.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
15.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
16.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
17.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
18.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
19.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
20.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
21.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
22.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
23.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
24.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
25.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
26.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
27.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
28.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
29.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;
30.	1) ;2) ;3) ;4) ;5) .

Завдання 2.2. Дослідити на збіжність невласний інтеграл:

1. ;	2. ;	3. ;	4. ;	5. ;
6. ;	7. ;	8. ;	9. ;	10. ;
11. ;	12. ;	13. ;	14. ;	15. ;
16. ;	17. ;	18. ;	19. ;	20. ;
21. ;	22. ;	23. ;	24. ;	25. ;
26. ;	27.	28. ;	29. ;	30. .

Завдання 2.3. Знайти загальний розв’язок диференціальних рівнянь:

1.	1) ;2) ;3) ;4) ;
2.	1) ;2) ;3) ;4) ;
3.	1) ;2) ;3) ;4) ;
4.	1) ;2) ;3) ;4) ;
5.	1) ;2) ;3) ;4) ;
6.	1) ;2) ;3) ;4) ;
7.	1) ;2) ;3) ;4) ;
8	1) ;2) ;3) ;4) ;
9.	1) ;2) ;3) ;4) ;
10.	1) ;2) ;3) ;4) ;
11.	1) ;2) ;3) ;4) ;
12.	1) ;2) ;3) ;4) ;
13.	1) ;2) ;3) ;4) ;
14.	1) ;2) ;3) ;4) ;
15.	1) ;2) ;3) ;4) ;
16.	1) ;2) ;3) ;4) ;
17.	1) ;2) ;3) ;4) ;
18.	1) ;2) ;3) ;4) ;
19.	1) ;2) ;3) ;4) ;
20.	1) ;2) ;3) ;4) ;
21.	1) ;2) ;3) ;4) ;
22.	1) ;2) ;3) ;4) ;
23.	1) ;2) ;3) ;4) ;
24.	1) ;2) ;3) ;4) ;
25.	1) ;2) ;3) ;4) ;
26.	1) ;2) ;3) ;4) ;
27.	1) ;2) ;3) ;4) ;
28.	1) ;2) ;3) ;4) ;
29.	1) ;2) ;3) ;4) ;
30.	1) ;2) ;3) ;4) .

Завдання 2.4. В варіантах 1-15 обчислити криволінійний інтеграл; в варіантах 16-30 обчислити площу області, обмеженої лініями:

1. , де – відрізок прямої , що лежить між точками і ;	2. , де – коло ;
3. , де – контур прямокутника з вершинами , , і ;	4. , де – коло , ;
5. , де – чверть еліпсу , що лежить у першому квадранті;	6. , де – коло ;
7. , де – коло ;	8. , де – коло ;
9. , де – дуга параболи , відсічена параболою ;	10. , де – відрізок прямої від точки до точки ;
11. , де – чверть кола , , що лежить в першому октанті;	12. , де – верхня половина кола між точками і ;
13. , де – чверть кола , , що лежить в першому октанті;	14. , вздовж параболи від точки до точки ;
15. , де – чверть еліпсу , що лежить в першому квадранті;	16. ; ; ; ;
17. , , ;	18. , ;
19. ; ;	20. , , ;
21. , ;	22. , ;
23. , , ;	24. , ;
25. , ;	26. , ;
27. , ;	28. , ;
29. , ;	30. , .