Модуль 9 Статистические оценки параметров распределения

§ 1 Точечные оценки

Статистической оценкой неизвестного параметра случайной величины называется функция вариант , , …, , …, .

Несмещенной называют статистическую оценку, математическое ожидание которого равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

Смещенной называют статистическую оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Выборочной средней (оценкой математического ожидания) называют среднее арифметическое наблюдаемых значений количественного признака

: .

Вспомним, что — варианта выборки,

— частота варианты,

— объем выборки,

— число наблюдаемых различных значений случайного параметра .

Таким образом, выборочная средняя есть средняя взвешенная значений признака с весами, равными соответствующим частотам.

Допустим, что все наблюдаемые значения количественного признака (случайной величины) выборки разбиты на несколько групп. Рассматривая каждую группу как самостоятельную, можно найти ее среднюю арифметическую.

Групповой средней называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих группе.

Зная групповые средние и объемы группы, можно найти общую среднюю: общая средняя равна средней арифметической групповых средних, взвешенной по объемам групп.

Для того, чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака совокупности вокруг своего среднего значения , вводят характеристику — выборочную дисперсию.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений количественного признака от выборочного среднего :

,

то есть выборочная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с весами, равными соответствующим частотам.

Кроме выборочной дисперсии для характеристики рассеяния значений количественного признака вокруг своего выборочного среднего значения пользуются характеристикой — выборочным средним квадратическим отклонением.

Выборочным средним квадратическим отклонением (выборочным стандартом) называют квадратный корень из выборочной дисперсии:

.

Вычисление дисперсии можно упростить, используя формулу:

, где .

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой дисперсии. Для того, чтобы получить несмещенную оценку дисперсии, нужно "исправить" величину .

Исправленной выборочной дисперсией называется величина: .

Исправленным выборочным средним квадратическим отклонением называется величина:

.

Все рассмотренные выше статистические оценки называются точечными, так как они определяются одним числом.

Пример 9.1.

Распределение выборки задано таблицей

	1	2	3	4
	20	15	10	5

Найти выборочную дисперсию.

Решение.

Найдем выборочную среднюю:

.

Найдем выборочную дисперсию:

.

Можно расчеты произвести и по другим формулам:

,

откуда

.

Пример 9.2.

Найти средний улов дальневосточного краба, приходящегося на одно контрольное траление, используя статистические данные двух количественных съемок (интервал между съемками 1,5 месяца).

Съемка 1
Съемка 2

Решение.

.