Определение предела по Коши:
Число А называется
пределом функции
при х, стремящихся к
(
),
если для любого, сколь угодно малого
числа положительного числа
(
)
существует такое число
,
что для всех х, удовлетворяющих
условию
выполняется неравенство
,
Свойства пределов функций и последовательностей.
Функция не может иметь более одного предела
Вычисление пределов функций.
*** При вычислении
пределов при
нужно подставить значение
в заданную функцию.
При определении пределов отношения обычно возникают НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Их нужно раскрыть с помощью преобразования функции.
Пример 1.
Вычислить предел функции
Пример 2.
Вычислить предел функции
В результате подстановки возникла неопределенность , которую нужно раскрыть, преобразовав функцию.
Для этого используются формулы сокращенного преобразования и разложение квадратного трехчлена с помощью определения его корней:
Разложение на множители квадратного трехчлена определяется по формуле:
,
где
и
-
корни уравнения
,
вычисляемые по формуле
Исходя из этого, получаем,
Пример 3.
Вычислить предел функции
Очевидно, что при
подстановке
возникает неопределенность
,
которую нужно раскрыть, используя
алгебраические преобразования, дополнив
их действием замены переменной:
Пусть
,
следовательно,
.
Тогда числитель и знаменатель принимают
вид выражений, которые легко раскладывается
на множители:
Возвращаясь к
первоначальной переменной, нужно
записать
Действия в знаменателе выполняются аналогично:
Подстановка в предел функции полученных выражений, приводит к следующему
Очевидно, что одинаковые множители в числителе и знаменателе можно сократить и затем подставить в функцию значение, к которому стремится х -
Задания для самостоятельной работы.
Вычислить значения пределов функций.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
