3. Пример решения учебной задачи

Условие задачи. Четырьмя технологическими способами изготавливается четыре вида продукции (А, Б, В, Г), соответственно. Для изготовления отдельным технологическим способом соответствующего вида продукции используется три вида сырья (1, 2, 3). Ресурсы сырья, нормы его расхода на единицу продукции и планируемая прибыль, получаемая от реализации единицы продукции по каждому технологическому способу, приведены в таблице 1.

Таблица 1

Вид сырья	Нормы расхода сырья по видам продукции, кг/шт.				Ресурсы сырья, кг.
	А	Б	В	Г
1 2 3	2 1 3	1 5 0	0,5 3 6	4 0 1	2400 1200 3000
Планируемая прибыль, тыс. руб.	7,5	3	6	12

Составьте математическую модель (алгебраическую запись) планирования объема выпускаемой продукции по технологическим способам, исходя из условия максимизации ожидаемой прибыли.

3.1. В соответствии с предложенными рекомендациями выполняем первый этап решения.

Выявляем связи между параметрами, имеющимися в условии задачи. Поскольку задача количественная, то и связи будут количественными в виде пропорций. Итак, задана связь между количеством сырья и продукции по каждому из 4-х технологических способов. Первым технологическим способом изготавливается 1 шт. продукции А из 2 кг сырья первого вида, 1 кг сырья 2-го вида и 3 кг сырья 3-го вида. Покажем эту связь схематично:

Способ 1:2 (1), 1(2), 3(3) → 1 (А).

Аналогичные связи между количеством сырья 3-х видов и количеством продукции соответствующего вида заданы по остальным технологическим способам.

В задаче также заданы связи (ограничения) по объему возможного расходования сырья (см. правую графу в табл. 1). Максимально возможный расход сырья 1-го вида - 2400 кг и т.д. по остальным видам сырья.

В условии задачи заданы связи между количеством продукции и планируемой прибыли в соответствии с 4-мя технологическими способами (см. нижнюю строку в табл. 1). От продажи единицы продукции А, создаваемой 1-м технологическим способом получают 7,5 тыс. рублей прибыли и т.д. по остальным способам.

3.2. На втором этапе решения задачи выявляем то, что является неизвестным или искомым. Сведения о нем находим в исходных данных, причем в той части текста, на которую ранее не обращалось внимания. «… Составьте математическую модель (алгебраическую запись) планирования объема выпускаемой продукции по способам, исходя из условия максимизации ожидаемой прибыли». В этой части текса речь идет о том задании, которое должен выполнить ученик. Он обязан составить математическую модель, т.е. искомым или целью решения является алгебраическая запись.

3.3. Переходим к 3-му этапу решения. Определяем связи между искомой математической моделью и остальными данными задачами.

Составление алгебраических соотношений начинается с выявления неизвестного в них, т.е. – с выявления того, что привычно обозначают «х».

Несмотря на то, что смысл неизвестности относится и к планируемому объему выпуска, и к значению максимальной прибыли, неизвестным в алгебраическом смысле будет выпуск продукции по технологическим способам. При этом выпуск продукции жестко подчинен требованию по максимизации прибыли. Другими словами, максимальная прибыль будет получена только при определенном оптимальном выпуске. Сама же максимальная прибыль является конечной целью назначения определенного выпуска или внутренней целью в самой задаче (целью решающего задачу является составление математической модели).

Взаимосвязь между количеством продукции (выпуском) и прибылью задана в условии задачи (см. п. 3.1). В условии задачи задано еще много других связей, но на данном этапе неясно, - будут ли они использованы при составлении математической модели?

3.4. Все предыдущие этапы носили абстрактный характер. На завершающем этапе решения задачи предстоит составить искомую математическую модель в соответствии с исходными данными и в соответствии с реальностью происходящих явлений, только тогда полученное решение будет возможно реализовать на практике.

Ранее установлено, что неизвестным в алгебраическом смысле является выпуск продукции по технологическим способам. Вводим обозначения х₁, х₂, х₃, х₄ – выпуск по каждому технологическому способу, соответственно.

Далее возникает вопрос - о чем будет первое или единственное (пока неизвестно) алгебраическое соотношение? На этот счет имеется единственное обоснование: поскольку человеческая деятельность целесообразна, нужно начинать с целевого положения. Первое или единственное алгебраическое соотношение должно отражать требование по максимизации ожидаемой прибыли, что является внутренней целью данной задачи.

Имея связь между прибылью и выпуском (х₁, х₂, х₃, х₄), составляем нужное алгебраическое соотношение (целевую функцию).

7,5 х₁ + 3 х₂ + 6 х₃ + 12 х₄ → maх

В условии задачи нет сведений о том, нужны ли еще какие-нибудь алгебраические соотношения, формирующие математическую модель? Необходимо привести собственные рассуждения с позиции реально происходящего, обосновывающие необходимость дополнительных алгебраических соотношений. Именно с этой позиции мы можем увидеть неадекватность составленного соотношения реальности протекающих явлений. Требование максимальной, т.е. бесконечной прибыли по отношению к конечным параметрам, заданным в условии задачи, нереально! Остается единственная возможность, - другим (другими) алгебраическим соотношением привести значение искомой прибыли к реальным условиям, а точнее, - к условиям 4-х известных технологических способов. Прибыль нужно уменьшить до конечного и, в то же время, максимально возможного значения.

Через выпуск можно повлиять на значение искомой прибыли, используя известную связь, но при этом придется заведомо уменьшить объем выпуска, что недопустимо по экономическим соображениям. Тогда нужно по связям пройти дальше в поисках того, что позволит уменьшить значение искомой прибыли, но не нарушит общеизвестных экономических истин. Значение выпуска, в свою очередь, зависит от количества израсходованного сырья (пропорция между выпуском и расходом сырья объективно задается технологическим способом и имеется в условии задачи). Конкретные значения по возможному расходованию сырья 3-х видов даны в табл.1, исходя из них, составляем математическую модель планирования выпуска продукции при условии возможной максимизации ожидаемой прибыли:

7,5 х₁ + 3 х₂ + 6 х₃ + 12 х₄ → maх

2 х₁ + 1 х₂ + 0,5 х₃ +4 х₄ ≤ 2400

1 х₁ + 5 х₂ + 3 х₃ ≤ 1200

3 х₁ + 6 х₃ + 1 х₄ ≤ 3000

Предостережение: обосновывая реальное значение максимальной прибыли объемом имеющегося сырья, нельзя использовать понятие ограниченности сырья. Заданные в задаче запасы сырья отнесены лишь к некоторому периоду существования технологических способов, а не ко всему периоду их жизни, т.е. эти запасы не ограниченны заданными значениями ресурсов. Со временем запасы сырья будут постоянно пополняться.

Литература

1. Ковалев А.Н., Самойлов М.В. Методические рекомендации по решению нетривиальных проблем / Инновационные технологии в обучении. Вып.3. Минск: БГЭУ, 2007.

2. Меерович М.И., Шрагина Л.И. Технология творческого мышления. Минск: Харвест, 2003.

3. Кохно Н.П. Проблемы целевой направленности познания. Инновационные технологии обучения в системе подготовки специалистов экономического профиля // Тезисы докладов науч.-метод. конф., г. Минск, 3 апр. 2002 г. Минск: БГЭУ, 2002.

4. Миносзон Э.И. Основы педагогических знаний. Москва: Педагогика, 1986.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ

Ф.И.О. Кохно Н.П.

Место работы БГЭУ, кафедра технологии важнейших отраслей

промышленности

Должность доцент

Тел. дом. 344-25-17, раб. 209-78-26

11