3. Дифракция на узкой щели

Проанализируем случай, когда монохроматический свет падает нормально на плоскость, имеющую узкую щель шириной a (рис.6, AB=a). Рассмотрим лучи, которые дифрагируют на щели под одинаковым углом .

Оптическая разность хода между крайними лучами AD и BE будет равна:

. (3.1)

Разделим открытую часть волновой поверхности в плоскости щели на зоны Френеля. Ширина каждой зоны, как мы видели из предыдущего обсуждения, выбирается так, чтобы разность хода от краев этих зон была равна /2, то есть всего на ширине щели уместится зон.

Как мы уже знаем, если число зон - четное, то действие всех зон будет скомпенсировано, и в т. F будет наблюдаться минимум освещенности. Следовательно, условие наблюдения минимума на экране будет:

, (3.2)

где k=1, 2, 3, ….- целые числа.

В случае, если число зон - нечетное, то в т. F действие одной зоны Френеля будет не скомпенсировано, и получается условие для наблюдения максимума освещенности:

. (3.3)

Очевидно, что в прямом направлении (=0) щель действует как одна зона Френеля, и в этом направлении наблюдается центральный дифракционный максимум.

Соответствующие расчеты показывают, что распределение амплитуды колебаний в дифракционной картине определяется зависимостью:

, (3.4)

где переменная u является функцией угла  и длины волны :

.

Распределение амплитуды колебаний и интенсивности света в дифракционной картине показано на рис.7.

Рис.7. Распределение амплитуды колебаний и интенсивности света при дифракции на одной щели

4. Дифракционная решетка

Дифракционная решетка представляет собой устройство, состоящее из большого числа параллельных щелей, расположенных на равных расстояниях друг от друга. Дифракционные решетки часто изготавливают, нанося на стекло очень тонкие линии алмазным резцом. Промежутки между штрихами служат щелями.

Анализ принципа действия дифракционной решетки во многом напоминает анализ интерференции в известном опыте Юнга на двух щелях⁴.

Рис.8. Дифракция света на решетке

Предположим, что на решетку падают параллельные лучи света (рис.8). Будем считать щели достаточно узкими, так что продифрагировавший на каждой щели свет распределен в очень широком диапазоне углов и на удаленном экране за решеткой может интерферировать со светом от всех других щелей. Лучи, не испытывающие в щелях отклонение (=0), создают в результате усиливающей интерференции светлое пятно в центре. Под углом , при котором лучи от соседних щелей обладают разностью хода l=m (m – целое число, m=0,1,2….), также имеет место усиление света. Если расстояние между щелями равно d (оно называется периодом решетки), то

или

. (4.1)

Это соотношение служит условием максимума интенсивности. Величина m называется порядком дифракционного максимума. Эти максимумы называют главными.

С другой стороны, очевидно, что в тех направлениях, в которых ни одна из щелей не даёт лучей света, он не будет распространяться и от всей решетки. Соответственно, условие (3.2), полученное нами для одной щели, будет сохраняться и в этом случае. Минимумы интенсивности света для таких направлений в дифракционной картине, также называются главными.

Однако и при некоторых других направлениях, в которых каждая из щелей, взятая в отдельности, даёт свет ненулевой интенсивности, будут наблюдаться минимумы в дифракционной картине от всей решетки. Это происходит вследствие взаимной интерференции идущих от различных щелей световых лучей, и при некоторых углах также будет наблюдаться явление гашения света. Очевидно, что это произойдет, когда разность хода l будет пропорциональна половине длине волны, т.е.:

. (4.2)

Условие (4.2) называется условием дополнительных минимумов.

Таким образом, дифракционные картины от одной и большого числа щелей существенно различаются: у дифракционной картины, полученной на дифракционной решетке, максимумы оказываются гораздо более резкими и узкими.

Э

Рис.9. Дифракционные картины от решеток с различным числом щелей (а – одна щель, б - две щели, в – три щели, г - шесть щелей)

то объясняется следующим образом. Предположим, что угол  несколько отличается от угла, соответствующего максимуму. В случае двух щелей соответствующие волны лишь слегка разойдутся по фазе, но максимум будет сохраняться. Поэтому в картине, возникающей при дифракции на двух щелях, максимумы имеют большую ширину. В случае дифракционной решетки, разность фаз волн, исходящих от двух соседних щелей, также незначительна. Но волна из одной щели может оказаться в противофазе с волной из другой щели, отстоящей от нее на несколько сотен периодов решетки. Их взаимная интерференция погасит весь (или почти весь) свет. Для примера, пусть угол  отличается от угла, соответствующего максимуму первого порядка, причем разность хода равна не точно длине волны , а 1,001. Тогда волна, исходящая из одной щели, будет сдвинута по фазе относительно волны от следующей за ней 500-й щели точно на 1,500.. Соответственно, эти волны погасят друг друга.

Гасящая интерференция происходит и между волнами из пары щелей, сдвинутых на одну щель относительно рассмотренной пары, т.е. свет первой щели гасит свет из щели 501, свет второй щели гасит свет из щели 502, и т.д. Таким образом, даже при крайне малом угле, соответствующем разности хода 0,001, происходит сильная гасящая интерференция, и поэтому максимум должен быть очень узким.

Чем больше штрихов у дифракционной картины, тем резче пики (рис.9). Благодаря этому свойству, дифракционная решетка позволяет получить более четкие линии и оказывается достаточно точным прибором для измерения длин волн.

Если свет, падающий на дифракционную решетку, не монохроматичен, а содержит набор частот, то для каждой длины волны максимум будет возникать под своим углом (кроме m=0). Поэтому центральный максимум (m=0) для белого света представляет собой резкую белую полосу, а во всех остальных порядках будет наблюдаться отчетливое радужное размытие по некоторому диапазону углов. Получается так называемое “разложение” света на составляющие, картина которого называется спектром.

Важным свойством любой дифракционной решетки является возможность различить с ее помощью две очень близкие длины волн. Это свойство оценивается параметром, называемым угловой дисперсией. Данный параметр определяется как изменение угла заданного порядка дифракции с длиной волны: .

Чтобы определить угловую дисперсию, нужно продифференцировать соотношение (4.1), выбрав в качестве переменной длину волны:

,

откуда

. (4.3)

Таким образом, угловая дисперсия решетки определяется по формуле:

. (4.4)