Долгих Е.А .Теория вероятностей и математическая статистика

Задачи практикума по теории вероятностей.

Раздел 1. Введение. Элементы комбинаторики

1. В соревновании участвуют 8 команд. Сколько существует вариантов распределения мест между ними?

2. К полуфинальному этапу турнира допущены 8 команд: 1,2,3,4,5,6,7,8. В финал (на равных основаниях) попадают лишь три из них. Сколькими способами могут определиться участники финала?

3. Пусть по-прежнему соревнуются 8 команд, но не в полуфинале, как в задаче 2 , а в финале, где разыгрываются три медали: золотая, серебряная и бронзовая. Сколькими способами могут быть распределены медали?

4. Сколькими способами можно расположить шесть разных книг на одной полке?

5. Алхимик использует семь ингредиентов для приготовления эликсира жизни. Сколько существует различных порядков вливания их в сосуд?

6. Из цифр 1,2,3,4,5 составляются всевозможные пятизначные числа без повторяющихся цифр.

   1. Сколько всего получится таких чисел?

   2. Сколько среди них будет начинаться с цифры 5?

   3. Сколько чисел будет оканчиваться комбинацией 41?

   4. Сколько получится четных и сколько нечетных чисел?

   5. Сколько получится чисел, кратных 3?

7. Из отряда солдат в 50 человек назначаются в караул 4 человека. Сколькими способами это можно сделать? Сколько среди них таких, что в число караульных попадет рядовой Иванов?

8. На прямой отмечены 5 точек: А, В, С, D, Е. Сколько отрезков определяют эти точки?

Раздел 2. Основы теории вероятностей

9. Статистические данные свидетельствуют, что при вложении капитала размером в 100 тыс. у.д.е в строительство прибыль была получена в 18 случаях из 90. Какова вероятность получения прибыли от вложения 100 тыс. у.д.е. в строительство?

10. На территории предприятия произошла авария водопровода. Общая длина водопровода L = 150 м. В том числе 50 м трубы (l) приходится на труднодоступные места. Какова вероятность того, что ремонт придется производить именно на труднодоступном участке?

11. В магазин поступило 30 холодильников, пять из них имеют заводской дефект. Случайным образом выбирается один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта?

12. В коробке находится шесть одинаковых по форме и близких по диаметру сверл. Случайным образом сверла извлекаются из коробки. Какова вероятность того, что сверла извлекутся в порядке возрастания их диаметра?

13. Комиссия по качеству раз в месяц проверяет качество продуктов в двух из 30 магазинов, среди которых находятся и два известных вам магазина. Какова вероятность того, что в течение месяца они оба будут проверены?

14. На станцию прибыли 10 вагонов разной продукции. Вагоны помечены номерами от одного до десяти. Найти вероятность того, что среди пяти выбранных для контрольного вскрытия вагонов окажутся вагоны с номерами 2 и 5?

15. Изготовлена партия из 200 изделий, в которых оказалось три бракованных. Произведена выборка из пяти изделий. Найти вероятность следующих событий:

а) в выборке не будет ни одного бракованного изделия;

б) в выборке будет одно бракованное изделие.

16. Из 20 акционерных обществ (АО) четыре являются банкротами. Гражданин приобрел по одной акции шести АО. Какова вероятность того, что среди купленных акций две окажутся акциями банкротов?

17. Из 100 изготовленных деталей 10 имеют дефект. Для проверки были отобраны пять деталей. Какова вероятность того, что среди отобранных деталей две окажутся бракованными?

18. На склад привезли 50 ящиков Комплектующих изделий для одного из видов ЭВМ, но среди них оказалось четыре ящика комплектующих для другого вида ЭВМ. Наудачу взяли шесть ящиков. Найти вероятность того, что в одном из этих шести ящиков окажутся некомплектные детали.

19. В партии из 15 однотипных стиральных машин пять машин изготовлены на заводе А, а 10 – на заводе В. Случайным образом отобрано 5 машин. Найти вероятность того, что две из них изготовлены на заводе А.

20. Вероятность того, что приобретенный товар произведен в Италии, Ри=0,4, а того, что он произведен в Турции, Рт = 0,3. Какова вероятность того, что товар произведен в одной из этих стран: или в Италии, или в Турции?

21. В денежно-вещевой лотерее на серию в 10000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Найти вероятности:

а)получить денежный выигрыш;

б) получить вещевой выигрыш;

в) получить выигрыш вообще;

г) ничего не выиграть.

22. Вероятность своевременного получения груза Р_сп=0,8, а вероятность того, что упаковка груза не будет повреждена, Р_уп = 0,7.Какова вероятность того, что груз будет получен вовремя в неповрежденной упаковке?

23. На полке находится 10 книг, расставленных в произвольном порядке. Из них три книги по теории вероятностей, три – по менеджменту и четыре – по строительным материалам. Студент случайным образом достает одну книгу. Какова вероятность того, что он возьмет книгу по теории вероятностей или по строительным материалам?

24. Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов: четыре с первого, пять со второго, семь с третьего и четыре с четвертого. Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или третьего склада?

25. В порт приходят корабли только из трех пунктов отправления. Вероятность появления корабля из первого пункта равна 0,2, из второго пункта – 0,6. Найти вероятность прибытия корабля из третьего пункта.

26. Контролер проверяет изделия на соответствие стандарту. Известно, что вероятность соответствия стандарту изделий равна 0,9.

а) Какова вероятность того, что из двух проверенных изделий оба будут стандартными, если события появления стандартных изделий независимы?

б) Какова вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное?

27. Вероятность правильного оформления счета на предприятии составляет 0,95. Во время аудиторской проверки были взяты два счета. Какова вероятность того, что только один из них оформлен правильно?

28. Вероятность правильного оформления накладной при передаче продукции равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех накладных только две оформлены правильно.

29. В районе 100 поселков. В пяти из них находятся пункты проката сельхозтехники. Случайным образом отобраны два поселка. Какова вероятность того, что в них окажутся пункты проката?

30. В городе находятся 15 продовольственных и 5 непродовольственных магазинов. Случайным образом для приватизации были отобраны три магазина. Найти вероятность того, что все эти магазины непродовольственные.

31. В магазине имеются 10 женских и 6 мужских шуб. Для анализа качества отобрали три шубы случайным образом. Определить вероятность того, что среди отобранных шуб окажутся:

а) только женские шубы;

б) только мужские или только женские шубы.

32. На предприятие поступают заявки от нескольких торговых пунктов. Вероятности поступления заявок от пунктов А и В равны соответственно 0,5 и 0,4. Найти вероятность поступления заявок от пункта А или пункта В, считая события поступления заявок от этих пунктов независимыми, но совместными.

33. Предприятие обеспечивает регулярный выпуск продукции при безотказной поставке комплектующих от двух смежников. Вероятность отказа в поставке продукции от первого из смежников равна 0,05, от второго – 0,08. найти вероятность сбоя в работе предприятия.

34. Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7. Найти вероятность своевременного выполнения задания хотя бы одним предприятием.

35. На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго – 6 и от третьего – 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что:

а) установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока;

б) проработавший без дефекта двигатель изготовлен на первом заводе, на втором заводе?

36. На предприятии, изготавливающем замки, первый цех производит 25, второй 35, третий 40% всех замков. Брак составляет соответственно 5, 4 и 2%.

а) Найти вероятность того, что случайно выбранный замок является дефектным;

б) Случайно выбранный замок является дефектным.

в) Какова вероятность того, что он был изготовлен на первом, втором, третьем цехе?

37. Трое рабочих изготавливают однотипные изделия. Первый рабочий изготовил 40 изделий, второй – 35, третий – 25. Вероятность брака у первого рабочего 0,03, у второго – 0,02, у третьего – 0,01. взятое наугад изделие оказалось бракованным. Определить вероятность того, что это изделие сделал второй рабочий.

38. На предприятии работают две бригады рабочих: первая производит в среднем ¾ продукции с процентом брака 4%, вторая – ¼ продукции с процентом брака 6%. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие:

а) окажется бракованным;

б) изготовлено второй бригадой при условии, что изделие оказалось бракованным.

39. В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении 2:3. Вероятность качественного ремонта для сапог равна 0,9, а для туфель – 0,85. Проведена проверка качества одной пары обуви. Оказалось, что эта пара обуви отремонтирована качественно. Какова вероятность того, что это

а) сапоги; б) туфли?

40. В результате обследования были выделены семьи, имеющие по четыре ребенка. Считая вероятности появления мальчика и девочки в семье равными, определить вероятности появления в ней:

а) одного мальчика;

б) двух мальчиков.

41. Четыре покупателя приехали на оптовый склад. Вероятность того, что каждому из этих покупателей потребуется холодильник марки «А», равна 0,4. Найти вероятность того, что холодильник потребуется:

а) не менее чем двум покупателям;

б) не более чем трем покупателям;

в) всем четырем покупателям.

42. Работают четыре магазина по продаже стиральных машин. Вероятность отказа покупателю в магазинах равна 0,1. Считая, что ассортимент товара в каждом магазине формируется независимо от других, определить вероятность того, что покупатель получит отказ в двух, трех, четырех магазинах.

43. В новом микрорайоне поставлено 10 000 кодовых замков на дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна

а) 0,0002;

б) 0,001.

Найти вероятность того, что за месяц откажут два, три и пять замков.

44. Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено:

а) ровно три изделия;

б) более трех изделий.

45. На станциях отправления поездов находится 1000 автоматов для продажи билетов. Вероятность выхода из строя одного автомата в течение часа равна 0,004. Какова вероятность того, что в течение часа выйдут из строя два, три, пять автоматов?

46. Всхожесть семян огурцов равна 0,8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех?

47. Обувной магазин продал 200 пар обуви. Вероятность того, что в магазин будет возвращена бракованная пара, равна 0,01. Найти вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено:

а) ровно 4 пары,

б) ровно 5 пар.

48. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

49. Найти вероятность того, что событие В наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.

50. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

51. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна р=0,8. Найти вероятность того, что событие появится:

а) не менее 75 раз и не более 90 раз;

б) не менее 75 раз;

в) не более 74 раз.

52. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие появится не менее 75 раз?