![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
3.5. Уравнение прямой
Каноническое уравнение прямой на плоскости имеет вид
,
(3.19)
где
произвольная
точка на прямой, а
координаты направляющего вектора
(указывающего направленность прямой).
Уравнение прямой может быть записано в общем виде:
,
или
(3.20)
где
– направляющий вектор, а
вектор нормали (направленный по
перпендикуляру к прямой).
(3.20) называется общим уравнением прямой.
Если а 0, в 0, с 0, то прямая (3.20) пересекает обе координатные оси.
Если
А
=0, В
0,
С
0, то прямая
параллельна оси Ох.
Если
А
= 0, В
0, С
= 0, то
или у
= 0 – уравнение оси Ох.
Если
А
0, В
= 0, С
0, то прямая
или
параллельна
оси Оу.
Если
А
0, В
= 0, С
= 0, то
или х
= 0 – уравнение оси Оу.
Если
А
0, В
0, С
= 0, то прямая
проходит через начало координат.
Уравнение прямой,
проходящей через две данные точки
(
;
)
и (
;
)
(3.21)
Запишем
это уравнение в виде
(3.21.1)
Рассмотрим
рис. 3.5, на котором изображено общее
расположение прямой, проходящей через
две данные точки
и
,
и пересекающей обе оси координат. Угол
между положительным направлением оси
Ох
и прямой, взятый против часовой стрелки,
называется углом наклона прямой. Тангенс
угла наклона
называется угловым коэффициентом
прямой. Так как прямая
параллельна оси Ох,
то
- прямоугольный и отношение
(3.22)
Тогда уравнение (3.22) можно записать и так
(3.23)
Это уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении (определяемом угловым коэффициентом k).
Пример 3.5. От продажи 200 шт. товара доход составляет 6000 руб., а от продажи 1000 шт. - 20000 руб. Учитывая линейность функции дохода (от объема продаж), определить доход от продажи 400 шт. товара.
Решение. Используя уравнение (3.21.1) и подставляя вместо координат точек (x1;y1), (x2;y2) координаты М1(200; 6000), М2(1000; 20000), получим:
,
получим y
= 17,5х
+2500. Подставляя х
= 400,
определим доход y = 9500 руб.
Если k величина не фиксированная, а переменная, то уравнение (3.23) называется уравнением пучка прямых, проходящих через данную точку.
Раскрывая скобки, получим
Обозначим
величину
,
то уравнение запишется в виде
(3.24)
Это уравнение прямой с угловым коэффициентом.
При
х
= 0
- это отрезок, отсекаемый прямой на оси
ординат, считая от начала координат,
число k
характеризует направление прямой, если
k
> 0, то угол наклона острый, а если k
<
0, то угол наклона тупой.
Если
k
0, b
= 0, то прямая
проходит через начало координат.
Если k = 0, b 0, то уравнение прямой, параллельной оси Ох.
В частности, если k = b = 0, то у = 0 – уравнение оси Ох.
Уравнение
вид
есть уравнение прямой, параллельной
оси Оу.
В частности,
- уравнение оси Оу.
Пусть
в общем уравнении прямой
все коэффициенты не равны нулю. Запишем
в виде
и разделим на –С
0. Получим
или
.
Обозначив
,
,
получим:
(3.25)
Это
уравнение
прямой
в отрезках.
Здесь
- отрезки отсекаемые прямой соответственно
на осях Ох
и Оу,
считая от начала координат.
Например,
прямая
отсекает на осях отрезки х
= -2, у
= 5.
3.6. Длина отрезка и деление отрезка в данном отношении
Формула деления отрезка пополам:
если
задан отрезок
,
и координаты точек
,
известны, то серединой отрезка
является точка
.
Разделить данный отрезок в заданном отношении.
Пусть
в R3
дан отрезок прямой
(рис. 3.6.), координаты концов которого
известны:
,
.
Пусть
- делящая точка с переменными координатами
и
заданное отношение, в котором точка М
делит отрезок
.
Надо найти координаты делящей точки М.
Р
ешим
задачу в векторном виде. Проведем векторы
,
соединяющие начало координат О
с точками
.
Рассмотрим векторы
и
.
Они коллинеарны, так как лежат на одной
прямой и
=
.
Но
=
,
=
или
.
Из равенства этих векторов следует
пропорциональность соответствующих
координат, то есть
,
,
.
Из этих трех равенств находим искомые координаты х, у, z делящей точки М:
,
,
(2.26)
В частности, если
точка М делит отрезок
пополам, то
,
=1, и координаты
середины отрезка находим по формулам
,
,
(3.27)
3.7. Угол между двумя прямыми на плоскости
Если
прямые заданы общими уравнениями
и
,
то угол между ними такой же, как угол
между нормальными векторами
и
прямых и находится по формуле, аналогичной
формуле (3.13)
(3.28)
условие
перпендикулярности:
и параллельности:
.
Угол между прямимы
и
можно найти по формуле
.
(3.29)
Условие
перпендикулярности
,
условие параллельности
.
Если речь идет об угле между двумя прямыми и не указан порядок, в котором они рассматриваются, то можно устанавливать этот порядок произвольно. Очевидно, что изменение порядка повлечет за собой изменение знака тангенса угла.