Питання для самоконтролю

1. Дайте визначення календарного плану.

2. Які проблеми розглядає теорія розкладу?

3. Охарактеризуйте графічний і табличний методи подання календарних планів.

4. Сформулюйте завдання Джонсона для двох верстатів.

5. Сформулюйте завдання розподілу замовлень.

6. Сформулюйте індикаторний метод складання календарних планів.

Бібліографічний список до теми

[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7].

Тема 4. Мережеве планування роботи персоналу

Мета: опрацювання питань згідно запропонованого плану вивчення теми, застосування математичних моделей щодо мережевого планування роботи персоналу.

План вивчення теми

1. Призначення й області застосування мережевого планування й управління. Методи мережевого планування й управління.

2. Мережеві графіки. Мережна модель і її основні елементи. Порядок і правила побудови мережевих графіків. Упорядкування мережевого графіка. Поняття про шлях. Повний шлях. Критичний шлях.

3. Лінійна діаграма проекту. Часові параметри мережевих графіків. Повний резерв часу. Вільний резерв часу. Коефіцієнт напруженості робіт.

4. Завдання оптимізації часу виконання проекту. Організаційні і контрольні заходи щодо планування й управління комплексом робіт.

Методичні рекомендації до самостійної роботи

При вивченні теми слід зазначити, що пошуки більш ефективних способів планування складних процесів привели до створення принципово нових методів мережевого планування й управління (СПУ).

Система методів СПУ – це сукупність методів планування й управління розробкою великих народногосподарських комплексів, науковими дослідженнями, конструкторською й технологічною підготовкою виробництва, нових видів виробів, будівництвом і реконструкцією, капітальним ремонтом основних фондів шляхом застосування мережевих графіків.

СПУ засноване на моделюванні процесу за допомогою мережевого графіка і являє собою сукупність розрахункових рядів, організаційних і контрольних заходів щодо планування й управління комплексом робіт.

Система СПУ дозволяє:

• формувати календарний план реалізації деякого комплексу робіт;

• виявляти й використовувати резерви часу, трудові, матеріальні й грошові ресурси;

• здійснювати управління комплексом робіт за принципом «провідної ланки» із прогнозуванням і попередженням можливих зривів у ході робіт;

• підвищувати ефективність управління в цілому при чіткому розподілі відповідальності між керівниками різних рівнів і виконавцями робіт.

Мережна модель являє собою план виконання деякого комплексу взаємозалежних робіт (операцій), заданого в специфічній формі мережі, графічне зображення якої називається мережевим графіком. Відмінною рисою мережної моделі є чітке визначення всіх часових взаємозв'язків майбутніх робіт.

Головними елементами мережної моделі є події й роботи.

Термін «робота» використовується в СПУ в широкому змісті. По-перше, це дійсна робота – протяжний у часі процес, що вимагає витрат ресурсів (наприклад, складання виробу, випробування приладу й т.п.). Кожна дійсна робота повинна бути конкретною, чітко описаною й мати відповідального виконавця.

По-друге, це очікування – протяжний у часі процес, що не вимагає витрат праці (наприклад, процес сушіння після фарбування, старіння металу, твердіння бетону й т.п.).

По-третє, це залежність, або фіктивна робота – логічний зв'язок між двома або декількома роботами (подіями), що не вимагають витрат праці, матеріальних ресурсів або часу. Вона вказує, що можливість однієї роботи безпосередньо залежить від результатів іншої. Природно, що тривалість фіктивної роботи приймається рівною нулю.

Подія – це момент завершення якого-небудь процесу, що відображає окремий етап виконання проекту. Подія може здійснитись тільки тоді, коли закінчаться всі роботи, що передують їй. Наступні роботи можуть початися тільки тоді, коли подія здійснилася. Передбачається, що подія не має тривалості й здійснюється як би миттєво.

Серед подій мережної моделі виділяють вихідні й завершальні події. Вихідна подія не має попередніх робіт і подій, що відносяться до представленого в моделі комплексу робіт. Завершальна подія не має наступних робіт і подій.

Події на мережевому графіку (або, як ще говорять, на графові) зображуються кружками (вершинами графа), а роботи – стрілками (орієнтованими дугами), що показують зв'язок між роботами.

Порядок і правила побудови мережевих графіків

Мережеві графіки складаються на початковому етапі планування. Спочатку планований процес розбивається на окремі роботи, складається перелік робіт і подій, продумуються їхні логічні зв'язки й послідовність виконання, роботи закріплюються за відповідальними виконавцями. З їхньою допомогою оцінюється тривалість кожної роботи. Потім складається (зшивається) мережевий графік. Після впорядкування мережевого графіка розраховуються параметри подій і робіт, визначаються резерви часу й критичний шлях. Нарешті, виконується аналіз і оптимізація мережевого графіка, який при необхідності креслиться заново з перерахуванням параметрів подій і робіт.

При побудові мережевого графіка необхідно дотримуватись ряду правил:

1. усі стрілки мережевого графіка мають загальний напрямок (ліворуч праворуч);

2. між парою подій може бути зображена тільки одна робота;

3. використовуються можливі варіанти проходження подій і робіт (табличний запис і шляхи переходу наведені на рис. 2.1);

Робота	Опорна робота	Робота	Опорна робота	Робота	Опорна робота
	–		–		–
					–
					,

Рис. 2.1.

4. у мережній моделі не повинне бути «тупикових» подій, тобто подій, з яких не виходить жодна робота, за винятком завершальної події;

5. у мережевому графіку не повинне бути «хвостових» подій (крім вихідного), яким не передує хоча б одна робота;

6. усі події, крім вихідної й завершальної, повинні мати як вхідні стрілки, так і стрілки, що з них виходять;

7. якщо дві роботи починаються в той самий час, в одній події й кінчаються в іншій події, то вводять фіктивну подію й фіктивну роботу. При цьому одна з паралельних робіт замикається на цю фіктивну подію. Фіктивні роботи мають нульову тривалість і зображуються на графіку пунктирними лініями;

8. у мережі не повинне бути замкнених контурів і петель, тобто шляхів, що з'єднують деякі події з ними ж самими.

Упорядкування мережевого графіка. Поняття про шлях

Припустимо, що при складанні деякого проекту виділено 12 подій – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 і 24 роботи, що їх зв’язують – (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 6), (3,7), (3, 10), (4,8), (5,8), (5,7), (6, 10), (7,6), (7,8), (7, 9), (7, 10), (8, 9), (9, 11), (10, 9), (10, 11). Необхідно скласти й упорядкувати мережевий графік.

Як випливає из переліку робіт, вихідною подією мережевого графіка є подія 0 (їй не передують ніякі роботи), а завершальною – подія 11 (за нею не іде жодна робота). Помістимо подію 0 у ліву частину графіка, а подію 11 – у праву частину, розмістивши між ними проміжні події в певному порядку, що відповідає їхнім номерам (рис. 2.2). Події зв'яжемо роботами-стрілками відповідно до переліку робіт.

Рис. 2.2.

Упорядкування мережевого графіка полягає в такому розташуванні подій і робіт, при якому для будь-якої роботи попередня їй подія розташована ліворуч й має менший номер у порівнянні із подією, що завершує цю роботу. Інакше кажучи, в упорядкованому мережевому графіку всі роботи-стрілки спрямовані від подій з меншими номерами до подій з більшими номерами (рис. 2.3).

Одне з найважливіших понять мережевого графіка – поняття шляху.

Шлях – будь-яка послідовність робіт, у якій кінцева подія кожної роботи збігається з початковою подією наступної за нею роботи. Серед різних шляхів мережевого графіка найбільший інтеpec представляє повний шлях – будь-який шлях, початок якого збігається з вихідною подією мережі, а кінець – із завершальною.

Н айбільш тривалий повний шлях у мережевому графіку називається критичним. Критичними називаються також роботи й події, розташовані на цьому шляху.

Рис. 2.3.

Наприклад, для розглянутого нами мережевого графіка (рис. 2.3) повними шляхами будуть: шлях тривалістю доби, шлях тривалістю доби, шлях тривалістю діб, шлях тривалістю доба і т.д.

Можна переконатися в тому, що останній путь має найбільшу тривалість (не тільки серед наведених чотирьох повних шляхів, але й серед усіх повних шляхів, яких у цьому випадку налічується 64), тому він і є критичним. Тривалість критичного шляху становить 61 добу, тобто для проведення комплексу робіт знадобиться 61 доба. Швидше комплекс виконати не можна, тому що для досягнення завершальної події критичний шлях треба пройти обов'язково.

Дійсно, для досягнення події 11 треба виконати роботу (10, 11), тобто досягатися події 10; для досягнення події 10 треба провести роботу (9,10), тобто досягатися події 9; для досягнення події 9 треба провести роботу (6, 9), тобто досягатися події 6, і т.д.

Визначивши критичний шлях, ми тим самим встановили критичні події мережі 0, 3, 5, 6, 9, 10 і 11 і критичні роботи (0, 3), (3, 5), (5, 6), (6, 9), (9, 10), (10, 11).

Критичний шлях має особливе значення в системі СПУ, тому що роботи цього шляху визначають загальний цикл завершення всього комплексу робіт, що заплановані за допомогою мережевого графіка. І для скорочення тривалості проекту необхідно в першу чергу скорочувати тривалість робіт, що лежать на критичному шляху.

Слід зазначити, що класичний вид мережевого графіка – це мережа, накреслена без масштабу часу. Тому мережевий графік, хоча й дає чітке уявлення про порядок проходження робіт, але недостатньо наочний для визначення тих робіт, які повинні виконуватися в кожний даний момент часу. У зв'язку із цим невеликий проект після впорядкування мережевого графіка рекомендується доповнити лінійною діаграмою проекту. Така лінійна діаграма для розглянутої мережі показана на рис. 2.4.

Рис. 2.4.

При побудові лінійної діаграми кожна робота зображується паралельним осі часу відрізком, довжина якого дорівнює тривалості цієї роботи. При наявності фіктивної роботи нульової тривалості (у розглянутій мережі її немає) вона зображується точкою. Події й , початок і кінець роботи поміщають відповідно на початку й кінці відрізка. Відрізки розташовують один над іншим, знизу нагору в порядку зростання індексу , а при тому самому – у порядку зростання індексу (на рис. 2.4 внаслідок обмеженості місця не показані роботи-відрізки, що виходять із 2-, 3-, 4- і 5-ої подій).

По лінійній діаграмі проекту можна визначити критичний час, критичний шлях, а також резерви часу всіх робіт.

Так, критичний час комплексу робіт дорівнює координаті на осі часу самого правого кінця всіх відрізків діаграми:

(доба).

Для визначення критичного шляху розглядаємо роботи-відрізки, кінцеві події яких збігаються із завершальною подією мережі (у нашім прикладі (9, 11) і (10, 11)). Потім знаходимо відрізок (9, 10), правий кінець якого лежить на одній вертикалі (2.9) з лівим кінцем одного з розглянутих раніше відрізків (10, 11). Аналогічно визначаємо й інші роботи-відрізки критичного шляху: (6, 9), ..., (0, 3) (на рис. 2.4 усі вони виділені жирним шрифтом).

Часові параметри мережевих графіків

У табл. 2.2 наведені основні часові параметри мережевих графіків. Розглянемо розрахунки й зміст зазначених параметрів.

Почнемо з параметрів подій. Раніше відзначалося, що подія не може настати перш, ніж завершаться всі попередні роботи. Тому ранній строк здійснення -тієї події визначається тривалістю максимального шляху, що передує цій події: , де – будь-який шлях, що передує -тій події, тобто шлях від вихідної до -ої події мережі.

Звідси випливає, що ранній строк здійснення події – це самий ранній строк, до якого завершуються всі роботи, що передують цій події.

Якщо подія має кілька попередніх робіт (рис. 2.5), то ранній строк здійснення події знаходиться так.

Нехай – безліч робіт, що безпосередньо передують події . Тоді

, . (2.1)

Затримка здійснення події стосовно свого раннього строку не відіб'ється на строку здійснення завершального події (а виходить, і на строку виконання комплексу робіт) доти, поки сума строку здійснення цієї події й довжини максимального з наступних за ним шляхів не перевищить довжини критичного шляху.

Таблиця 2.2.

Елемент мережі, що характеризується параметром	Найменування параметра	Умовна позначка параметра
Подія	Ранній строк здійснення події Пізній строк здійснення події Резерв часу події
Робота	Тривалість роботи Ранній строк початку роботи Ранній строк закінчення роботи Пізній строк початку роботи Пізній строк закінчення роботи Повний резерв часу роботи Вільний резерв часу роботи
Шлях	Тривалість шляху Тривалість критичного шляху Резерв часу шляхи

Рис. 2.5. Рис. 2.6.

Тому пізній строк здійснення -го події дорівнює: , де – будь-який шлях, що іде за -ою подією, тобто шлях від -ої до завершальної події мережі.

Якщо подія має кілька наступних робіт (рис. 2.6), то пізній строк здійснення події зручно знаходити за формулою:

, , (2.2)

де - безліч робіт , що виходять із вершини .

При будь-якому пізній строк здійснення події знаходиться так: спочатку при вважається , потім послідовно для рівним , , …, обчислюють за формулою (2.2).

Резерв часу -ої події визначається як резерв між пізнім і раннім строком її здійснення:

. (2.3)

Резерв часу -ої події показує, на який припустимий строк можна затримати настання цієї події, не викликаючи при цьому збільшення часу виконання комплексу робіт.

Критичні події резервів часу не мають, тому що будь-яка затримка в здійсненні події, що лежить на критичному шляху, викличе таку ж затримку в здійсненні завершальної події.

Із цього випливає, що для визначення критичного шляху (якщо він єдиний) зовсім не обов'язково перебирати всі повні шляхи мережевого графіка й визначати їхні довжини. Визначивши ранній строк настання завершальної події мережі, ми тим самим визначимо довжину критичного шляху, а виявивши події з нульовими резервами часу, визначимо його конфігурацію.

Якщо критичних шляхів декілька, то виявлення їх за допомогою критичних подій може бути важко, тому що через частину критичних подій можуть проходити як критичні, так і некритичні шляхи. У цьому випадку для визначення критичних шляхів слід використовувати критичні роботи.

Коефіцієнт напруженості робіт

Після побудови мережевого графіка проводиться його всебічний аналіз, для того щоб надалі вжити заходів по його оптимізації.

Аналіз мережевого графіка починається з аналізу структури мережі, що включає контроль побудови мережевого графіка, установлення доцільності вибору робіт, ступені їх розчленовування.

Потім проводиться класифікація й угруповання робіт з виявлення резервів, для того щоб визначити ступінь труднощів виконання в строк кожної групи робіт.

Величина повного резерву часу не завжди може досить точно характеризувати, наскільки напруженим є виконання тієї або іншої роботи некритичного шляху. Усе залежить від того, на яку послідовність робіт поширюється обчислений резерв, яка тривалість цієї послідовності.

Визначити ступінь труднощів виконання в строк кожної групи робіт некритичного шляху можна за допомогою коефіцієнта напруженості робіт.

Коефіцієнтом напруженості роботи називається відношення тривалості незбіжних (розташованих між тими самими подіями) відрізків шляху, одним з яких є шлях максимальної тривалості, що проходить через дану роботу, а іншим – критичний шлях:

, (2.4)

де – тривалість максимального шляху, що проходить через роботу ;

– тривалість відрізка розглянутого шляху, що збігається із критичним шляхом;

– тривалість (довжина) критичного шляху.

Завдання оптимізації часу виконання проекту

Оптимізація мережевого графіка представляє процес поліпшення організації виконання комплексу робіт, метою якого є скорочення довжини критичного шляху, скорочення загальної вартості робіт, раціонального використання ресурсів і ін.

Розглянемо метод розв'язку завдання мінімізації загальної тривалості проекту.

Мережевий графік складається після розподілу всіх ресурсів по кожній роботі. Ці ресурси визначають час виконання робіт. На мережевому графіку не всі роботи критичні. Тому можна зменшити час за рахунок резервів на некритичних роботах. Перерозподіляючи ці резерви на критичні роботи, можна зменшити час їх виконання й тим самим одержати новий строк виконання робіт, менший . Оптимальним мережний план буде такий, коли вийде найменшим із усіх можливих у даних умовах.

Позначимо ресурси по роботах , , … відповідно , , ….

Нехай робота із часом її виконання лежить на критичному шляху, а – деяка робота, що лежить на некритичному шляху, і час її виконання – .

Механізм перерозподілу коштів включає зменшення коштів роботи на деяку величину , що приводить до збільшення її часу виконання .

Кошти , вкладені в роботу , тобто , приводять до зменшення часу її виконання:

.

На практиці виконання розрахунків і звичайно представляють наближеними лінійними виразами виду:

; . (2.5)

Позначимо – коефіцієнт перерахування.

Тоді формули (2.5) приймуть вид:

; .

При таких операціях має виконуватися умова: сума знятих з некритичних робіт коштів повинна дорівнювати сумі вкладених коштів на критичні роботи: , де М – число робіт, на які кошти вкладалися, а N – число робіт, з яких кошти знімалися.

Загальний строк виконання всього комплексу робіт визначається цільовою функцією:

. (2.6)

Тут – номера тих робіт критичного шляху, кошти яких не змінилися.

Потрібно так перерозподілити кошти з некритичних робіт на критичні, щоб функція (2.6) прийняла найменше значення.

Скільки коштів можна взяти з некритичної роботи? Ясно, що все взяти не можна. кошти, що знімаються, визначаються наявністю резервів часу. Нехай вільний резерв часу роботи рівний . Тоді повинна виконуватися умова , звідки – обмеження на кошти, що знімаються з роботи .

Зауваження. Якщо ми знімаємо кошти з роботи , що лежить на шляху , то не можна вкладати дані кошти в іншу роботу, що лежить на цьому шляху, яка є також частиною критичного шляху.

Розв'язок задачі оптимізації полягає в послідовному перенесенні коштів з некритичних робіт на критичні, переході від одного шляху до іншого доти, поки всі роботи не будуть перебувати на критичних шляхах і мати резерви. У цьому випадку тривалість усіх шляхів стане однаковою.