12.2. Криволинейная корреляция
Если связь между случайными величинами X и Y нелинейна, то для ее оценки используется общая методика, основанная на сравнении двух дисперсий.
Пусть результаты выборочного обследования системы (X,Y) сведены в корреляционную таблицу, и пусть Х является факториальным признаком, а Y – результативным.
Общая дисперсия
случайного признака Y
равна сумме дисперсии
условных средних этого признака
(«межгрупповой дисперсии») и средней
внутригрупповых дисперсий
(«остаточной дисперсии»):
= + . (12.6)
Степень влияния признака Х на изменчивость признака Y характеризуется корреляционным отношением
(12.7)
точечной оценкой которого служит выборочное корреляционное отношение
(12.7а)
Величина
корреляционного отношения заключена
между 0 и 1, причем, если
=
1, то случайные признаки связаны
функциональной зависимостью, а если
=
0, случайные признаки X
и
Y
некоррелированы.
Корреляционное
отношение характеризует тесноту связи
между случайными признаками независимо
от ее формы.
Соотношение между линейнным коэффициентом
корреляции и корреляционным отношением
таково:
.
Разность
является мерой нелинейности корреляционной
связи.
12.11. Данные по объему Х сбыта готовой продукции и относительному уровню Y издержек производства 50 предприятий сведены в корреляционную таблицу (табл. 12.3). Определить степень линейности и оценить силу связи между этими показателями.
Вычислим
условные средние
и изобразим на графике эмпирическую
зависимость
(рис. 12.1). Как видно, график носит ярко
выраженный криволинейный характер.
Таблица 12.3
X |
Y |
nx |
|
||||
0,6 |
0,65 |
0,7 |
0,75 |
0,8 |
|||
20 |
2 |
5 |
6 |
1 |
|
14 |
0,67 |
30 |
1 |
3 |
8 |
2 |
|
14 |
0,69 |
40 |
|
1 |
5 |
8 |
4 |
18 |
0,74 |
50 |
|
|
|
|
4 |
4 |
0,8 |
ny |
3 |
9 |
19 |
11 |
8 |
50 |
|
Далее вычисляем общую дисперсию при-знака Y и межгрупповую дисперсию.
Теперь вычислим
корреляционное отношение
В задачах 12.12 – 12.14 приведены статистические данные о зависимости случайного признака Y от Х. Требуется:
а) вычислить условные средние обоих случайных признаков;
б) построить
эмпирические линии регрессии
и
в) вычислить общие и межгрупповые дисперсии признаков;
г) вычислить
криволинейные отношения
д) вычислить
коэффициент линейной корреляции и
сравнить его с корреляционными отношениями
12.12.
X |
Y |
||||||
2,0 |
2,5 |
3,0 |
3,5 |
4,0 |
4,5 |
5,0 |
|
12,5 |
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
17,5 |
1 |
|
|
|
1 |
3 |
3 |
22,5 |
1 |
2 |
1 |
|
1 |
7 |
3 |
27,5 |
|
1 |
3 |
2 |
5 |
8 |
2 |
32,5 |
|
1 |
2 |
9 |
4 |
1 |
|
37,5 |
|
|
5 |
6 |
1 |
|
|
42,5 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
12.13.
X |
Y |
||||||
0,15 |
0,25 |
0,35 |
0,45 |
0,55 |
0,65 |
0,75 |
|
10 – 20 |
3 |
5 |
9 |
4 |
2 |
|
|
20 – 30 |
1 |
2 |
6 |
8 |
3 |
1 |
|
30 – 40 |
|
|
|
1 |
5 |
6 |
1 |
40 – 50 |
|
|
|
|
|
8 |
4 |
50 – 60 |
|
|
|
|
|
3 |
1 |
60 - 70 |
|
|
|
|
2 |
5 |
|
12.14.
X |
Y |
||||||
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
|
0,125 |
5 |
|
|
|
|
|
|
0,145 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
0,165 |
2 |
6 |
1 |
|
|
|
|
0,185 |
1 |
4 |
9 |
2 |
|
|
|
0,205 |
|
2 |
8 |
6 |
1 |
|
|
0,225 |
|
|
|
3 |
5 |
4 |
1 |