2. Числовые характеристики выборочной совокупности

Числовыми характеристиками случайного признака в выборке являются:

1. выборочная средняя (выборочный начальный момент первого порядка ):

или ; (10.1)

2. выборочная дисперсия (выборочный центральный момент второго порядка ):

или (10.2)

3. выборочное среднее квадратичное отклонение

(10.3)

4. модой М_о эмпирического распределения называется значение признака, обладающего наибольшей частотой;

для интервального вариационного ряда

(10.4)

где  нижняя граница модального интервала,

 частоты модального, предмодального и послемодального интервалов,

h  ширина интервала (шаг ряда);

5. медианой М_е эмпирического распределения называется значение случайного признака, делящего выборочную совокупность на две равновеликие части; для дискретного ряда медиана равна или , для интервального 

(10.5)

где нижняя граница медианного интервала, определяемого по вы-

шеуказанному правилу;

n  объем выборки;

m_e  частота медианного интервала;

S_-1  накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

6) коэффициент вариации V = (10.6)

7) асимметрия и эксцесс эмпирического распределения

(10.7)

где выборочные центральные моменты определяются через начальные моменты случайной величины соотношениями

В задачах 10.5 – 10.7 вычислить характеристики выборочной совокупности (среднее значение случайного признака, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану, коэффициент вариации, асимметрию и эксцесс).

10.5.

Интервалы	5 – 7	7 – 9	9 – 11	11 – 13	13 – 15	15 – 17
Частоты	8	14	40	26	6	4

10.6.

Интервалы	10 – 14	14 – 18	18 – 22	22 – 26	26 – 30	30 – 34
Частоты	1	5	10	20	18	3

10.7.

Интервалы	2 – 4	4 – 6	6 – 8	8 – 10	10 –12	12 –14
Частоты	10	20	10	8	4	1

В том случае, когда значения случайного признака в выборке выражены большими числами, затрудняющими процедуры вычислений, можно использовать линейное преобразование вида

(10.8)

где h – шаг ряда (ширина интервала),

x_m  мода выборочного распределения.

Преобразование вносит в выборку систематическую ошибку x_m , при этом результат подвергается преобразованию масштаба с коэффициентом В итоге новые варианты u₁, u₂, …, u_n можно рассматривать как выборку из генеральной совокупности Тогда выборочные моменты случайной величины Х определяются через соответствующие моменты случайной величины U следующим образом:

в частности, откуда следует, что

10.8. Вычислить для данной выборки.

Интервалы	134-138	138-142	142-146	146-150	150-154	154-158
Частоты	1	3	15	18	14	2

10. Преобразуем интервальный ряд в дискретный, взяв в качестве дискретных значений x_i признака середины интервалов. Одновременно преобразуем случайную величину Х в случайную величину U при h = 4 и x_m = 148. Составим рабочую таблицу (10.3).

Таблица 10.3

xi	mi	ui	ui mi
136	1	- 3	- 3	9	- 27	81
140	3	- 2	- 6	12	- 24	48
144	15	-1	- 15	15	- 15	15
148	18	0	0	0	0	0
152	14	1	14	14	14	14
156	2	2	4	8	16	32
	53		- 6	58	- 36	190

Заполнив таблицу, вычисляем выборочные начальные моменты «условного» признака U:

Далее находим выборочные центральные моменты признака U.

Наконец, определяем искомые характеристики выборки:

