5.2. Непрерывные распределения

1. Показательное распределение. Распределение непрерывной случайной величины называется показательным (экспоненциальным), если ее диффе-ренциальная функция имеет вид

(5.11)

Характеристики показательного распределения связаны с параметром :

(5.12)

Показательное распределение широко используется в теории надежности как статистическая модель безотказной работы сложных систем.

Если случайная величина Т представляет собой время безотказной работы системы, то вероятность отказа системы за промежуток времени (0; t) определяется равенством

(5.13)

где  – так называемая интенсивность отказов (т.е. среднее число отказов в единицу времени).

Вероятность безотказной работы системы в течение времени t называется функцией надежности и имеет вид

(5.14)

5.22. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону с плотность распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадет в интервал (1, 2).

5.23. Время ожидания у бензоколонки автозаправочной станции является случайной величиной, распределенной по показательному закону со средним временем ожидания, равным t_o. Найти вероятности следующих событий:

5.24. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по показательному закону, если ее функция распределения имеет вид:

а) б)

5.25. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по показательному закону, если ее плотность распределения имеет вид:

а) б)

5.26. Время безотказной работы элемента системы имеет показательное распределение Найти вероятность того, что за время t = 100 час: а) элемент откажет; б) элемент не откажет.

5.27. Испытываются три элемента радиоэлектронной системы, работающие независимо друг от друга. Время безотказной работы каждого элемента распределено по показательному закону с параметром , равным соответственно 0,1, 0,2 и 0,3. Найти вероятность того, что за время t = 5: а) откажет только один элемент; б) откажут все три элемента; в) откажет хотя бы один элемент.

5.28. Найти асимметрию и эксцесс случайной величины, распределенной по показательному закону.

2. Равномерное распределение. Распределение непрерывной случайной величины называется равномерным на отрезке [a, b], если плотность вероятности на этом отрезке постоянна

, (5.15)

а вне отрезка

Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины имеют вид:

(5.16)

29. Автобусы идут с интервалом 5 минут. Случайная величина – время ожидания автобуса на остановке – распределена равномерно на этом интервале. Найти вероятность того, что пассажир, пришедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 минут. Найти среднее время ожидания.

 Требуется найти вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (2; 5).

Так как то

Среднее время ожидания, т.е. математическое ожидание случайной величины, равно 

29. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

30. Случайная величина Х распределена равномерно на интервале (a – l, a + l). Найти математическое ожидание и дисперсию Х.

31. Шкала рычажных лабораторных весов имеет цену деления 1 г. При измерении массы вещества отсчет делается с округлением в сторону ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что абсолютная ошибка определения массы вещества: а) не превысит величины среднего квадратического отклонения случайных ошибок измерения; б) будет заключена между