Уравнения в дифференциалах

Иногда дифференциальные уравнения первого порядка удобно рассматривать как функциональные уравнения, содержащие не производную искомой функции , а ее дифференциал и дифференциал независимой переменной . Напомним определение дифференциала. Пусть − произвольное число, которое в данном контексте будет называться дифференциалом независимой переменной . Тогда дифференциалом функции (обозначается ) называется выражение вида

(1) .

Из определения видно, что значение дифференциала зависит как от числового значения независимой переменной , так и от числового значения ее дифференциала . Из выражения для дифференциала (2) следует (если обе части этого выражения поделить на ), что производная при произвольном значении может быть выражена отношение дифференциалов и при любом значении дифференциала : . Опустив для краткости обозначение аргумента, получим

(*) .

Поэтому очень часто производную обозначают отношением дифференциалов .

Вернемся к исследуемому уравнению . Если функция является его решением (на некотором интервале), то для всех (из этого интервала) должно выполняться тождество: . Далее для краткости будем опускать упоминание о том, что меняется на том интервале, на котором является решением уравнения, хотя по умолчанию это будет подразумеваться. Умножив обе части полученного равенства на произвольное число (которое теперь будем рассматривать как дифференциал независимой переменной ), получим или, с учетом (1), . Таким образом, любое решение уравнения (1) является решением задачи для уравнения

(2) ,

которая заключается в поиске такой функции , для которой соотношение (2) выполнено для любого и любого числового значения . Легко доказать и обратное, что любое решение уравнения (2) (в описанном только что смысле) является и решением уравнения (1). Поэтому можно сказать, что уравнения (1) и (2) являются разными формами записи одного и того же уравнения. Уравнение вида (2) относится к так называемым уравнениям в дифференциалах.

Однако уравнение (2) можно значительно обобщить в следующем смысле. В уравнение (2) переменные и входят не симметрично: перед дифференциалом независимой переменной стоит некая произвольная функция двух переменных и , а перед дифференциалом нет. Исправим эту «дискриминацию», перенося к тому же обе части уравнения в одну часть. Придем к следующему уравнению :

(3) ,

где и произвольные функции двух переменных. Уравнение (3) называется уравнением в дифференциалах. Что же следует называть решением такого уравнения? Прежде всего, то, что договорились называть решением уравнения вида (2): функцию , для которой соотношение (3) выполнено для любого и любого числового значения . Это означает, что (вспоминая, что ) соотношение

(4)

выполняется для любого и . Однако симметричность вхождения и в уравнение (3) позволяет расширить понятие решения этого уравнения. В уравнениях (1) и (2) переменные и входили несимметрично, а потому сразу было понятно, что является аргументом, а функцией, т.е. ищется функция вида . А в уравнение (3) эти переменные входят симметрично, поэтому можно (в упоминаемом выше смысле) искать из этого уравнения как функцию , так и функцию , в которой независимой переменной является , а зависимой . Поэтому решением уравнения в дифференциалах (3) будем называть и такую функцию , для которой соотношение (3) выполнено для любого и любого числового значения . Это означает, что (теперь уже ) соотношение

(5)

выполняется для любого и . Таким образом, решениями уравнения в дифференциалах (3) называются как функции вида , для которых выполняется соотношение (4), так и функции вида , для которых выполняется соотношение (5).

Поиск решений вида и для уравнения (3) можно свести к решению некоторых уравнений в более привычной недифференциальной форме. Действительно, для решения уравнения (3) вида должно выполняться (4), которое можно записать в виде . Поскольку может быть произвольным числом, то это соотношение может быть выполнено только в том случае, когда выражение в скобках перед обращается в 0: . Перенося первое слагаемое в правую часть и деля обе части уравнения на (см. по этому поводу замечание ниже), получаем, что функция есть решение следующего уравнения в недифференциальной форме:

(6) .

Точно также, поиск решения уравнения (3) вида приведет от соотношения (5) ( при вынесении за скобку и последующем делении частей уравнения на ) к уравнению в недифференциальной форме:

(7) .

Таким образом, уравнение в дифференциальной форме (3) эквивалентно совокупности двух уравнений в недифференциальной форме (6) и (7).

Замечание. При переходе от уравнения в дифференциалах (3) к уравнениям (6) и (7) нам приходилось делить обе части уравнения на и , что может привести к потере некоторых решений, обращающих эти функции в ноль. Поэтому при решении конкретных уравнений при реализации этого шага следует отдельно найти решения, которые могли бы быть потеряны.